Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mẫu các phân số này có dạng a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 - 4a2 = (a2 - 2a + 2)(a2 + 2a + 2)
do đó các phân số sẽ biến đổi như sau:
\(\frac{a}{4+a^4}=\frac{a}{\left(a^2-2a+2\right)\left(a^2+2a+2\right)}=\frac{1}{4}\frac{4a}{\left(a^2-2a+2\right)\left(a^2+2a+2\right)}\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a^2-2a+2}-\frac{1}{a^2+2a+2}\right)\)
do đó biểu thức M = \(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\left(2n-1\right)^2+2\left(2n-1\right)+2}\right)=\frac{n^2}{4n^2+1}\)
Có: \(\frac{4n^2}{4n^2+1}-\frac{4\left(n-1\right)^2}{4\left(n-1\right)^2+1}=\frac{-1}{4n^2+1}+\frac{1}{\left(2n-2\right)^2+1}\)
\(=\frac{-\left(2n-2\right)^2-1+4n^2+1}{\left(4n^2+1\right)\left[\left(2n-2\right)^2+1\right]}=\frac{4\left(2n-1\right)}{\left(4n^2-4n+1+4n\right)\left(4n^2-4n+1-6n+4\right)}\)
\(=\frac{4\left(2n-1\right)}{\left(4n^2-4n+1\right)^2+4\left(4n^2-4n+1\right)-16n^2+16n}=\frac{4\left(2n-1\right)}{\left(2n-1\right)^4+4}\)
\(\Rightarrow\frac{n^2}{4n^2+1}-\frac{\left(n-1\right)^2}{4\left(n-1\right)^2+1}=\frac{2n-1}{4+\left(2n-1\right)^4}\)
-> đpcm theo phương pháp quy nạp
a/ Bạn coi lại đề, \(2\sqrt[3]{2xy}\) hay \(2\sqrt[3]{2}.xy\)
Như đề bạn ghi thì ko rút gọn được
b/ Xét \(\frac{x}{x^4+4}=\frac{x}{x^4+4x^2+4-\left(2x\right)^2}=\frac{x}{\left(x^2+2\right)^2-\left(2x\right)^2}\)
\(=\frac{x}{\left(x^2+2-2x\right)\left(x^2+2+2x\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x^2+2-2x}-\frac{1}{x^2+2+2x}\right)\)
Thay \(x=2n-1\) ta được:
\(\frac{2n-1}{4+\left(2n-1\right)^4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(2n-1\right)^2-2\left(2n-1\right)+2}-\frac{1}{\left(2n-1\right)^2+2\left(2n-1\right)+2}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4\left(n-1\right)^2+1}-\frac{1}{4n^2+1}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4\left(1-1\right)^2+1}-\frac{1}{4.1^2+1}+\frac{1}{4.1^2+1}-\frac{1}{4.2^2+1}+...+\frac{1}{4\left(n-1\right)^2+1}-\frac{1}{4n^2+1}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4n^2+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{4n^2}{4n^2+1}\right)=\frac{n^2}{4n^2+1}\)
Khi n=1, ta được \(\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{2.1+1}}\Leftrightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{3}}\) : đúng
giả sử mệnh đề đúng khi n=k\(\left(k\ge1\right)\), tức là \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}\)
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n=k+1, tức là ta phải chứng minh BĐT sau:
\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2\cdot\left(k-1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(2k+1\right)}.\frac{\left(2k+1\right)^2}{4\left(k+1\right)^2}< \frac{1}{\left(2k+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(2k+1\right)^2\left(2k+3\right)< 4\left(k+1\right)^2\left(2k+1\right)\Leftrightarrow0< 2k+1\): luôn đúng
=>mệnh đề đúng với n=k+1
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)với mọi n nguyên dương.
\(tan1^0.tan89^0.tan2^0.tan88^0...tan44^0tan46^0.tan45^0\)
\(=tan1^0.cot1^0.tan2^0.cot2^0...tan44^0.cot44^0.tan45^0\)
\(=1.1.1...1=1\)
b/ Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu và rút gọn ta được:
\(P=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}-\sqrt{5}+....-\sqrt{2n}-\sqrt{2n+1}\)
\(=-\sqrt{2}-\sqrt{2n+1}\)
Đặt A=\(\frac{1}{1^4+4}+\frac{3}{3^4+4}+\frac{5}{5^4+4}+...\frac{(2n-1)}{(2n-1)^4+4} \)
4A=\(\frac{4}{1^4+4}+\frac{3.4}{3^4+4}+\frac{5.4}{5^4+4}+...\frac{4(2n-1)}{(2n-1)^4+4} \)
Xét số hạng tổng quát
\((2n-1)^4+4=(2n-1)^4+4(2n-1)^2+4-4(2n-1)^2=((2n-1)^2+2(2n-1)+2)((2n-1)^2-2(2n-1)+2)\)
=>\(\frac{4(2n-1)}{(2n-1)^4+4}=\frac{1}{(2n-1)^2+2(2n-1)+2}-\frac{1}{(2n-1)^2-2(2n-1)+2} \)
Áp dụng vào A
=>\(\frac{1}{1}- \frac{1}{5}+\frac{1}{5} -\frac{1}{9}+...+\frac{1}{4n^2+1}-\frac{1}{(4(n-1)^2+1} \)
=>4A<1
=>A<\(\frac{1}{4} \)
@soyeon_Tiểubàng giải giúp mình