Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(a=\frac{1-\sqrt{5}}{2},b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Ta có \(a+b=1,a-b=-\sqrt{5},ab=-1\)
Ta sẽ tính từ từ. Cụ thể
\(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab=3\)
\(a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)=-\sqrt{5}\)
\(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2\left(ab\right)^2=7\)
\(a^4-b^4=\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)=-3\sqrt{5}\)
\(a^8+b^8=\left(a^4+b^4\right)^2-2\left(ab\right)^4=47\)
\(a^8-b^8=\left(a^4+b^4\right)\left(a^4-b^4\right)=-21\sqrt{5}\)
\(a^{16}-b^{16}=\left(a^8+b^8\right)\left(a^8-b^8\right)=-987\sqrt{5}\)
c tham khảo lời giải trong này xem https://cunghocvui.com/danh-muc/toan-lop-8
Đật 3 cái mẫu bên VT lần lượt là x,y,z rồi áp dụng C-S dạng engel
Để dễ nhìn ta đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x-3}=a\\\sqrt{y-2}=b\\\sqrt{3z-1}=c\end{cases}\left(a,b,c\ge0\right)}\)
Vậy BĐT đầu tương đương \(T=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{16}{c}+a+b+c\)
Áp dụng BĐT C-S dạng Engel ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{16}{c}=\frac{1^2}{a}+\frac{2^2}{b}+\frac{4^2}{c}\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{a+b+c}=\frac{49}{a+b+c}\)
Tiếp tục dùng AM-GM ta có: \(VT\ge\frac{49}{a+b+c}+\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{\frac{49}{a+b+c}\cdot\left(a+b+c\right)}=2\sqrt{49}=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=\frac{17}{3}\end{cases}}\)