K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023

a) Ta có: \({u_1} = {1^2};{u_2} = {2^2};{u_3} = {3^2};...;{u_n} = {n^2}\)

\(\begin{array}{l}{u_n} > 10000 \Leftrightarrow {n^2} > 10000 = {100^2} \Leftrightarrow n > 100\\{u_n} > 1000000 \Leftrightarrow {n^2} > 1000000 = {1000^2} \Leftrightarrow n > 1000\end{array}\)

b) \({u_n} > S \Leftrightarrow {n^2} > S \Leftrightarrow n > \sqrt S \).

Vậy với các số tự nhiên \(n > \sqrt S \) thì \({u_n} > S\).

Giả sử ABC là tam giác vuông cân tại A với độ dài cạnh góc vuông bằng 1. Ta tạo ra các hình vuông theo các bước sau đây : - Bước 1 : Dựng hình vuông mầu xám có một đỉnh là A, ba đỉnh còn lại là các trung điểm của ba cạnh AB, BC và AC (H1). Kí hiệu hình vuông này là (1)  - Bước 2 : Với 2 tam giác vuông cân mầu trắng còn lại như trong hình 1, ta lại tạo được 2 hình vuông mầu xác khác theo...
Đọc tiếp

Giả sử ABC là tam giác vuông cân tại A với độ dài cạnh góc vuông bằng 1. Ta tạo ra các hình vuông theo các bước sau đây :

- Bước 1 : Dựng hình vuông mầu xám có một đỉnh là A, ba đỉnh còn lại là các trung điểm của ba cạnh AB, BC và AC (H1). Kí hiệu hình vuông này là (1) 

- Bước 2 : Với 2 tam giác vuông cân mầu trắng còn lại như trong hình 1, ta lại tạo được 2 hình vuông mầu xác khác theo cách trên, kí hiệu là (2) (H2)

- Bước 3 : Với 4 tam giác vuông cân mầu trắng như trong hình 2, ta lại tạo được 4 hình vuông với mầu xám theo cách trên (H3)

- ..........

- Bước n : Ở bước này ta có \(2^{n-1}\) hình vuông với mầu sám được tạo thành theo cách trên, kí hiệu là (n)

a) Gọi \(u_n\) là tổng diện tích của tất cả các hình vuông mới được tạo thành ở bước thứ n.

Chứng minh rằng :

               \(u_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\)

b) Gọi \(S_n\) là tổng diện tích của tất cả các hình vuông mầu xám có được sau n bước. Quan sát hình vẽ để dự đoán giới hạn của \(S_n\) khi \(n\rightarrow+\infty\). Chứng minh dự đoán đó ?

1
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023

a)    Ta có: \({u_1} = 1,{u_2} = 2,{u_3} = 3\)

Dự đoán \({u_n} = n\)

b)    Ta có: \(\begin{array}{l}{v_1} = 1\\{v_2} = 8 = {2^3}\\{v_3} = 27 = {3^3}\\{v_4} = 64 = {4^3}\end{array}\)

Dự đoán: \({v_n} = {n^3}\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023

a) Diện tích hình vuông ban đầu bằng 1.1 = 1 (đvdt)

Vì người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới nên diện tích hình mới sẽ bằng một nửa hình trước.

Do đó ta có \({u_1} = {S_1} = 1,q = \frac{1}{2}\)

Vậy \({S_n} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\)

b) \(S = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\)

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:Bắt đầu bằng một hình vuông \({H_0}\) cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông \({H_0}\) thành chính hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình \({H_1}\) (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của \({H_1}\) thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình \({H_2}\) (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta...
Đọc tiếp

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Bắt đầu bằng một hình vuông \({H_0}\) cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông \({H_0}\) thành chính hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình \({H_1}\) (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của \({H_1}\) thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình \({H_2}\) (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình \({H_n}\left( {n = 1,2,3,...} \right)\).

Ta có:   \({H_1}\) có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\frac{1}{3}\);

                \({H_2}\) có \(5.5 = {5^2}\) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{{3^2}}}\);…

Từ đó, nhận được hình \({H_n}\) có \({5^n}\) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\frac{1}{{{3^n}}}\).

a) Tính diện tích \({S_n}\) của \({H_n}\) và tính \(\lim {S_n}\).

b) Tính chu vi \({p_n}\) của \({H_n}\) và tính \(\lim {p_n}\).

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích \(\lim {S_n}\) và chu vi \(\lim {p_n}\)).

1
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023

a) \({S_n} = {5^n}.{\left( {\frac{1}{{{3^n}}}} \right)^2} = {5^n}.\frac{1}{{{9^n}}} = {\left( {\frac{5}{9}} \right)^n},n = 1,2,3,...\)

\(\lim {S_n} = \lim {\left( {\frac{5}{9}} \right)^n} = 0\)

b) \({p_n} = {5^n}.4.\frac{1}{{{3^n}}} = 4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n},n = 1,2,3,...\)

\(\lim {p_n} = \lim \left( {4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}} \right)\)

Vì \(\lim \frac{1}{{4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}}} = \frac{1}{4}.\lim {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} = 0\) và \(4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n} > 0\) với mọi \(n\) nên \(\lim {p_n} = \lim \left( {4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}} \right) =  + \infty \).

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).a) Kí hiệu \({a_n}\) là diện tích của hình vuông thứ \(n\) và \({S_n}\) là tổng diện tích của \(n\) hình vuông đầu tiên. Viết công...
Đọc tiếp

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu \({a_n}\) là diện tích của hình vuông thứ \(n\) và \({S_n}\) là tổng diện tích của \(n\) hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính \({a_n},{S_n}\left( {n = 1,2,3,...} \right)\) và tìm \(\lim {S_n}\) (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu \({p_n}\) là chu vi của hình vuông thứ \(n\) và \({Q_n}\) là tổng chu vi của \(n\) hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính \({p_n}\) và \({Q_n}\left( {n = 1,2,3,...} \right)\) và tìm \(\lim {Q_n}\) (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

1
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023

a) Gọi \({u_n}\) là độ dài cạnh của hình vuông thứ \(n\).

Ta có: \({u_1} = 1;{u_2} = \frac{{{u_1}}}{2}.\sqrt 2  = \frac{{{u_1}}}{{\sqrt 2 }};{u_3} = \frac{{{u_2}}}{2}.\sqrt 2  = \frac{{{u_2}}}{{\sqrt 2 }};...\)

Từ đó ta thấy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 1.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Diện tích của hình vuông thứ \(n\) là: \({a_n} = u_n^2 = {\left( {\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}} \right)^2} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Vậy \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\)

Đây là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Vậy \({S_n} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\).

\(\lim {S_n} = \lim 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 2\left( {1 - \lim \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 2\left( {1 - 0} \right) = 2\).

b) Chu vi của hình vuông thứ \(n\) là: \({p_n} = 4{u_n} = 4.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Vậy \({Q_n} = 4 + \frac{4}{{\sqrt 2 }} + \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = 4\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}} \right)\)

\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy \(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\).

\( \Rightarrow {Q_n} = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\lim {Q_n} = \lim 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right) = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\\ &  = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - 0} \right) = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\end{array}\).

9 tháng 4 2017

a) Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng nên u1 = ()2 = .

Hình vuông thứ hai có cạnh bằng nên u2 = ()2 = .

Hình vuông thứ ba có cạnh bằng nên u3 = ()2 = .

Tương tự, ta có un =

b) Dãy số (un) là một cặp số nhân lùi vô hạn với u1 = và q = . Do đó

lim Sn = .

23 tháng 1 2022

:(

NV
21 tháng 12 2020

Gọi cạnh của hình vuông có diện tích \(S_k\) là \(a_k\) thì \(a_{k+1}=\dfrac{a_k}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow S_{k+1}=\dfrac{1}{2}S_k\)

Do đó:

\(S=S_1+\dfrac{1}{2}S_1+...+\dfrac{1}{2^{19}}S_1\)

\(=a^2\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2^{19}}\right)=a^2\left(2-\dfrac{1}{2^{19}}\right)\)

8 tháng 9 2017

Chọn B

Số cách chọn ra 3 đỉnh trong số 25 đỉnh của các hình vuông đơn vị là:  C 25 3

TH1: 3 đỉnh nằm trên cùng 1 hàng hoặc cùng 1 cột là: 5 C 5 3 + 5 C 5 3

TH2: 3 đỉnh nằm trên một trong các đường chéo của hình vuông kích thước 4x4, 3x3, 2x2 sao cho các đường chéo ấy không trùng nhau là 

TH3: 3 đỉnh nằm trên một trong các đường chéo của hình chữ nhật kích thước 2x4.  Số hình chữ nhật đó là 6. Do đó số cách chọn là 12

Vậy số tam giác được tạo thành là  = 2148

28 tháng 12 2017

Cạnh của hình vuông C1 là: a= 4 (giả thiết)

Giả sử cạnh hình vuông thứ n là an.

Theo định lý Py-ta-go : Cạnh hình vuông thứ n + 1 là :

Giải bài 6 trang 104 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

⇒ (an) là cấp số nhân với a1 = 4 và công bội Giải bài 6 trang 104 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11