Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có
\(\frac{a^2}{a+b^2}=\frac{a^2+ab^2-ab^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\ge a-\frac{1}{4}b\left(a+1\right)\)
Khi đó
\(A\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(ab+bc+ac\right)\)
Mà \(ab+bc+ac\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)
=> \(A\ge\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)( ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
\(a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\)
Do \(a+b^2\ge2b\sqrt{a}\)
\(a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\ge a-\frac{1}{4}b\left(a+1\right)\)
Do \(\sqrt{a}\le\frac{a+1}{2}\)
Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
\(\Leftrightarrow b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}{abc}\ge a+b+c\)
\(\frac{b.c}{a}+\frac{c.a}{b}+\frac{a.b}{c}\ge a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c
bài 1. ta có
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+ac+ad\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab+\frac{a^2}{4}+c^2+ac+\frac{a^2}{4}+d^2+ad+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+\frac{a}{2}\right)^2+\left(c+\frac{a}{2}\right)^2+\left(d+\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\) luôn đúng
Bài 2
ta có \(\frac{a^5}{b^5}+1+1+1+1\ge\frac{5.a}{b}\) (bất đẳng thức cauchy)
Tương tự ta có \(\frac{b^5}{c^5}+4\ge\frac{5b}{c};\frac{c^5}{a^5}+4\ge\frac{5c}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a^5}{b^5}+\frac{b^5}{c^5}+\frac{c^5}{a^5}\ge5\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-12\)
Mà dễ dàng chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\)
Nên ta có \(\Rightarrow\frac{a^5}{b^5}+\frac{b^5}{c^5}+\frac{c^5}{a^5}\ge5\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-12\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
bài 1 : \(^{a^2+B^2+C^2+D^2}\)>hoặc =ab+ac+ad
\(^{a^2+b^2+c^2}\)- ab-ac-ad>hoặc = 0
\((\frac{1}{4}^{a^2-ab+b^2})+(\frac{1}{4}^{a^2-ac+c^2})+(\frac{1}{4}^{a^2-ad+d^2})\)>hoặc =0
\((\frac{1}{2}a-b)^2+(\frac{1}{2}a-c)^2+(\frac{1}{2}a-d)^2>=0\)
Vì \((\frac{1}{2}a-b)^2>=0\)với mọi \(A,b\varepsilon n\)
=> đpcm tự kết luận
CM theo bdt co-si
Áp dụng bdt Co - si cho cặp số dương a2/c và c
Ta có: \(\frac{a^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c}.c}=2a\)(1)
CMTT: \(\frac{b^2}{a}+a\ge2b\)(2)
\(\frac{c^2}{b}+b\ge2c\)(3)
Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế, ta có:
\(\frac{a^2}{c}+c+\frac{b^2}{a}+a+\frac{c^2}{b}+b\ge2a+2b+2c\)
<=> \(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\)(Đpcm)
\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\frac{4}{a+b}+\frac{1}{2}\frac{4}{b+c}+\frac{1}{2}\frac{4}{c+a}\)
\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Ta có \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\ge\frac{3}{a^2b}\)
\(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge\frac{3}{b^2c}\)
..............................
=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\ge\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{b^2c}+\frac{1}{c^2d}+\frac{1}{d^2a}\left(1\right)\)
Áp dụng bđt cosi ta có
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^2b}\ge\frac{2}{b^3}\)
\(\frac{b^2}{c^5}+\frac{1}{b^2c}\ge\frac{2}{c^3}\)
\(\frac{c^2}{d^5}+\frac{1}{c^2d}\ge\frac{2}{d^3}\)
\(\frac{d^2}{a^5}+\frac{1}{d^2a}\ge\frac{2}{a^3}\)
Cộng vế của các bđt trên và kết hợp với (1)
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
\(\frac{a}{a+b}\)>= \(\frac{a}{a+a}\)= \(\frac{1}{2}\)( vì a + a >= a + b vì a >= b )
\(\frac{b}{b+c}\) >= \(\frac{b}{b+b}\)= \(\frac{1}{2}\)( vì b + b >= b + c vì b >= c )
\(\frac{c}{c+a}\)>= \(\frac{c}{c+c}\) = \(\frac{1}{2}\)( vì c + c >= c + a vì c>=0 )
Từ 3 điều này suy ra
\(\frac{a}{a+b}\)+ \(\frac{b}{b+c}\)+ \(\frac{c}{c+a}\)>= \(\frac{3}{2}\)
dễ dàng c/m (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) \(\ge\) 9,dấu "=" khi x=y=z (*)
a/a+b +b/b+c +c/c+a >= 3/2
<=>(a/b+c + 1) + (b/c+a + 1) + (c/a+b + 1) >= 3/2+1+1+1
<=>(a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) + (a+b+c)/(a+b) >= 9/2
<=>2(a+b+c)(1/b+c + 1/c+a + 1/a+b) >= 9/2
<=>[(b+c)+(c+a)+(a+b)](1/b+c + 1/c+a + 1/a+b) >= 9/2 (bđt (*))
Đặt: a + b = x; b + c = y; c + a = z
Thì ta có: x \(\ge\)z \(\ge\)y
Theo đề bài ta có:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}+\frac{b}{b+c}-\frac{1}{2}+\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\frac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{z-y}{2x}+\frac{x-z}{2y}+\frac{y-x}{2z}\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)\ge0\)(1)
Mà ta lại có
\(\hept{\begin{cases}y-x\le0\\z-x\le0\\z-y\ge0\end{cases}}\)nên (1) đúng
\(\Rightarrow\)ĐPCM
Đấu = xảy ra khi x = y = z hay a = b = c
Đặt b+c=m
a+c=n
a+b=p
=>a+b+c =\(\frac{m+n+p}{2}\)
a=\(\frac{n+p-m}{2}\)
b=\(\frac{m+p-n}{2}\)
c=\(\frac{m+n-p}{2}\)
=>\(\frac{n+p-m}{2m}+\frac{m+n-p}{2n}+\frac{m+n-p}{2p}\)
=\(\frac{1}{2}\left(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}\right)\) +\(\frac{1}{2}\left(\frac{p}{m}+\frac{m}{p}\right)\) +\(\frac{1}{2}\left(\frac{p}{n}+\frac{n}{p}\right)\) -\(\frac{3}{2}\) \(\ge\) \(\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số \(\frac{n}{m};\frac{m}{n}\) ta được:
Từ chứng minh tiếp ....
cảm ơn bn nhiều