Điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của △ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuố...

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

Tấn Lê Trọng

25 tháng 8 - olm

Điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của △ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng các điểm A1, B1, C1 thẳng hàng.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

28 tháng 8

Đúng(0)

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

Hoàng Nguyên Long

4 tháng 1 2021 - olm

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi A1,B1,C1 tương ứng là tiếp điểm của (I) với các cạnh BC,CA,AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BC1B1,CB1C1 tương ứng cắt lại đường thẳng BC tại điểm K (khác B) và tại điểm L (khácC). Chứng minh rằng các đường thẳng LC1,KB1 và IA1 đồng quy.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

Nameofapple

16 tháng 9 2019 - olm

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm bất kì trên (O). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, BC, CA. Chứng minh D, E, F thẳng hàng

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

Admin (a@olm.vn)

16 tháng 9 2019

Chứng minh:

Xét trường hợp \(\Delta\)ABC nhọn và ^MBC > ^MCA (các trường hợp khác chứng minh tương tự)

Khi đó D thuộc tia đối của tia BA, E và F tương ứng nằm trên cạnh BC, CA.

A B C M D E F

Vì các tứ giác MDBE, ABMC và MCFE nội tiếp nên ^MED = ^MBD = ^ACM = 180^o - ^MEM

=> ^MED + ^MEF = 180^o <=> ^DEF = 180^o.

Vậ D, E, F thẳng hàng (đpcm)

P/s: Bài toán trên theo mình nhớ không lầm thì là đường thẳng sim sơn

Đúng(0)

Mờ Lie

30 tháng 12 2015

Cho đường tròn (O; R). Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng BO cắt đường thẳng AC tại D.

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với OA

b) Chứng minh rằng DC.DA=DO.DB

c) Đường thẳng vuông góc với BD tại O, cắt AD tại M. Chứng minh rằng \(\frac{AB}{AM}-\frac{AM}{DM}=1\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

Nguyễn Thái Bình

31 tháng 12 2015

A B C D O M

a) BC vuông góc với AO là theo tính chất hai tiếp tuyến đi qua 1 điểm A

b) Xét hai tam giác DCO và DBA có góc D chung và góc C = góc B = 90 độ (tính chất tiếp tuyến)

=> tam giác DCO đồng dạng với tam giác DBA

=> DC/DB = DO/DA

=> DC.DA = DO.DB (đpcm)

c) Vì OM vuông góc với DB => OM // BA (cùng vuông góc với DB)

Ta có AM/DM + 1 = (AM + DM)/DM = DA/DM

Theo Viet ta có: DA/DM = AB/MO

=> AM/DM + 1 = AB/OM

=> AB/OM - AM/DM = 1 (*)

Ta lại có tam giác MOA cân (vì góc MOA = góc BAO do so le trong, góc MAO = góc BAO do tính chất hai tiếp tuyến cùng 1 điểm)

=> OM = AM

(*) trở thành: AB/AM - AM/DM = 1 (đpcm)

Đúng(0)

Nguyễn Thị Thủy

12 tháng 10 2019 - olm

Cho tam giác ABC có D là chân đường phân giác trong, D thuộc BC. Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt phân giác ngoài tại đỉnh A ở I. Vẽ đường tròn (I;ID) cắt AB,AC lần lượt tại E,F. Gọi G là tâm ngoại tiếp tam giác AEF, K là giao điểm của đường đối trung xuất phát từ A của tam giác AEF với (AEF). Chứng minh rằng đường thẳng KG luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi trên cung lớn BC...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

Nguyễn Tất Đạt

12 tháng 10 2019

A B C I S D E F G K L K' M x

Gọi giao điểm khác D của hai đường tròn (BED);(CFD) là K'; K'I cắt EF tại L; DL cắt (I;ID) tại M khác D.

Ta thấy IE = IF; AI là phân giác ngoài của ^EAF, từ đây dễ suy ra 4 điểm A,E,I,F cùng thuộc một đường tròn

Vì 3 điểm D,F,E lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB của \(\Delta\)ABC nên (BED);(CFD);(AFE) đồng quy (ĐL Miquel)

Hay điểm K' thuộc đường tròn (AIFE). Do vậy LI.LK' = LE.LF = LD.LM (= P_L/(G) = P_L/(I) )

Suy ra 4 điểm K',M,I,D cùng thuộc một đường tròn. Mà ID = IM nên ^IK'D = ^IK'M.

Đồng thời ^DIM = 180⁰ - ^DK'M = 180⁰ - ^EK'F + 2.^FK'D = ^BAC + 2.^ACB = 2.^AID

Suy ra IA vuông góc DM, từ đó M,L,D,A thẳng hàng (Vì IA cũng vuông góc AD)

Khi đó dễ thấy AL là phân giác ^BAC, K'L là phân giác ^EK'F, mà tứ giác AEK'F nội tiếp

Suy ra AEK'F là tứ giác điều hòa, từ đây AK' là đường đối trung của \(\Delta\)AEF

Suy ra K' trùng K. Kẻ tiếp tuyến Kx của (G), ta có ^BKx = ^EKx - ^EKB = ^EFK - ^EFD = ^BCK

Do đó (BKC) tiếp xúc với (G) tại K, tức KG đi qua tâm của (BKC) (1)

Gọi S là trung điểm cung lớn BC của (ABC). Có SB = SC và ^BKC = ^AED + ^AFD = 180⁰ - ^BSC/2

Suy ra S là tâm của đường tròn (BKC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra KG luôn đi qua S cố định (Vì S là trung điểm cùng BC lớn cố định) (đpcm).

Đúng(0)

Bùi Văn Lịch

1 tháng 10 2021

Cho ΔABC có trọng tâm từ M là điểm tùy ý. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB

CM: AA1, BB1, CC1 đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn

GIÚP MÌNH VỚI Ạ, MÌNH CẢM ƠN RẤT NHIỀU !!!

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

Âu Dương Nhược Tư

16 tháng 9 2019

Mọi người giúp em với ạ?!!

Tam giác abc có điểm a1 chia đoạn bc theo tỉ số k=-3, điểm b1 chia đoạn ca theo tỉ số l=1/2, điểm c1 chia đoạn ab theo tỉ số m=-2/3.CMR: 3 điểm a1, b1, c1 thẳng hàng.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

♥•๖ۣۜBạch๖ۣ ⁀Linhღ⁀ ๖ۣۜLa ``ღ.♥

10 tháng 1 2021 - olm

cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC, E nằm trên đường thẳng BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE. Đường thẳng \(\Delta1\)qua D vuông góc với OD. Đường thẳng \(\Delta2\)qua F vuông góc với AC. Đường thẳng \(\Delta3\)qua C song song với AB. Chứng minh rằng: \(\Delta1,\Delta2,\Delta3\)đồng...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

Natsu Dragneel

19 tháng 1 2021

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (I) với các cạnh BC, CA, AB . Các điểm M, N thuộc (I) sao choEM||FN||BC. Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của BM, CN với (I). Chứng minh BC, PE, QF đồng quy.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

Nguyễn Thị Thủy

24 tháng 9 2019 - olm

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M,N lần lượt là tiếp điểm của (I) với AC,AB. Đường trung bình song song với BC của tam giác ABC cắt (O) tại hai điểm P,Q. Chứng minh rằng M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

Nguyễn Tất Đạt

24 tháng 9 2019

A B C O I M N P Q L K J

Đặt bán kính của (I) và (O) lần lượt là \(r\) và \(R\).Gọi AI cắt (O) tại K khác A, KO cắt PQ, (O) lần lượt tại J,L.

Dễ thấy K là điểm chính giữa cung PQ và BC, suy ra KP = KQ, cũng dễ có KM = KN (1)

Áp dụng ĐL Cosin vào \(\Delta\)AKN ta có:

\(KN^2=AK^2+AN^2-2AK.AN.\cos45^0\Rightarrow KN^2=2R^2+2Rr+r^2\) (2)

Ta thấy OJ có độ dài bằng một nửa đường cao AH của \(\Delta\)ABC. Từ ĐL Ptolemy và Thales ta tính được:

\(AH=r.\frac{AB+AC+2R}{2R}=\frac{2Rr+r^2}{R}\Rightarrow OJ=\frac{2Rr+r^2}{2R}\)

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông có:

\(KQ^2=KJ.KL=\left(R+\frac{2Rr+r^2}{2R}\right).2R=2R^2+2Rr+r^2\) (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra KM = KN = KP = KQ. Điều đó có nghĩa là M,N,P,Q cùng thuộc đường tròn tâm K (đpcm).

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP