FF
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
26 tháng 8 2017
Đặt √x = t, x ≥ 0 => t ≥ 0.
Vế trái trở thành: t8 – t5 + t2 – t + 1 = f(t)
Nếu t = 0, t = 1, f(t) = 1 >0
Với 0 < t <1, f(t) = t8 + (t2 - t5)+1 - t
t8 > 0, 1 - t > 0, t2 - t5 = t3(1 – t) > 0. Suy ra f(t) > 0.
Với t > 1 thì f(t) = t5(t3 – 1) + t(t - 1) + 1 > 0
Vậy f(t) > 0 ∀t ≥ 0. Suy ra: x4 - √x5 + x - √x + 1 > 0, ∀x ≥ 0
26 tháng 8 2017
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-2000}+2\sqrt{y-2001}+2\sqrt{z-2002}=x+y+z-6000\)
\(\Leftrightarrow z+y+z-2\sqrt{x-2000}+2\sqrt{y-2001}+2\sqrt{z-2002}-6000=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\left(\sqrt{x-2000}\right)^2-2\sqrt{x-2000}+1\right)+\left(\left(\sqrt{y-2001}\right)^2-2\sqrt{y-2001}+1\right)+\left(\left(\sqrt{z-2002}\right)^2-2\sqrt{z-2002}+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2000}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2001}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2002}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=2001;y=2002;z=2003\)
4 tháng 10 2020
Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2bc+2ac}\)
Mặt khác : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2bc+2ac}\ge\frac{3}{2}\)
KN
5 tháng 10 2020
Dự đoán \(MinL=\frac{3}{2}\)khi a = b = c
Ta cần chứng minh \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{b}{b+c}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\frac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}-\frac{\left(a-b\right)+\left(c-a\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}-\frac{a-b}{2\left(b+c\right)}-\frac{c-a}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2}\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)-\frac{c-a}{2}\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2}.\frac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}-\frac{c-a}{2}.\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}-\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)(đúng do \(a\ge b\ge c>0\))
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
26 tháng 7 2019
\(T=\frac{\left(3+\sqrt{5}\right)^{2019}+\left(3-\sqrt{5}\right)^{2019}}{2^{2019}}\)
Ta có \(3+\sqrt{5}=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{2}\)
\(3-\sqrt{5}=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow T=\frac{\left[\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{2}\right]^{2019}+\left[\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}\right]^{2019}}{2^{2019}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{4038}+\left(\sqrt{5}-1\right)^{4038}}{2^{4038}}\)
Lại có \(\left(\sqrt{5}+1\right)^{4038}=\left[\left(\sqrt{5}+1\right)^3\right]^{1346}⋮\left(\sqrt{5}+1\right)^3\)
Tương tự \(\left(\sqrt{5}-1\right)^{4038}⋮\left(\sqrt{5}-1\right)^3\)
\(\Rightarrow T⋮\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^3+\left(\sqrt{5}-1\right)^3}{2^{4038}}=\frac{\left(2\sqrt{5}\right)\left[\left(\sqrt{5}+1\right)^2-\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)^2\right]}{2^{2038}}\)
\(\Rightarrow T⋮2\sqrt{5}\Rightarrow T⋮5\)
Vậy T chia cho 5 dư 0
P/s : Không biết làm đúng không nữa :)
27 tháng 7 2019
Giải bài toán tổng quát luôn nha.
Chứng minh:
\(T=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}\equiv3\left(mod5\right)\) với n không âm
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{3+\sqrt{5}}{2}=a\\\frac{3-\sqrt{5}}{2}=b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow T=a^{2n+1}+b^{2n+1};a+b=3;ab=1;a^2+b^2=7\)
Dùng phương pháp quy nạp chứng minh:
Ta thấy với \(\hept{\begin{cases}n=0\Rightarrow T=3\equiv3\left(mod5\right)\\n=1\Rightarrow T=18\equiv3\left(mod5\right)\end{cases}}\)
Giả sử nó đúng đến \(n=k\)hay
\(\hept{\begin{cases}a^{2k-1}+b^{2k-1}\equiv3\left(mod5\right)\\a^{2k+1}+b^{2k+1}\equiv3\left(mod5\right)\end{cases}}\)
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\)
Ta có:
\(T_{k+1}=a^{2k+3}+b^{2k+3}\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(a^{2k+1}+b^{2k+1}\right)-a^2b^2\left(a^{2k-1}+b^{2k-1}\right)\equiv7.3-1.3\equiv3\left(mod5\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Áp dụng vào bài toán ta thấy \(2019\)có đạng \(2n+1\)
Vậy nên bài toán ban đầu sẽ có số dư là 3 khi chia cho 5
T
27 tháng 7 2017
a) \(\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}\)
\(\Leftrightarrow-\left(\sqrt{3}+11\sqrt{5}+\sqrt{29}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{637+22\sqrt{145}+2\sqrt{6\left(317+11\sqrt{145}\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}-11\sqrt{5}-\sqrt{29}\)
b) Câu hỏi của Nguyễn Trung Anh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath giống câu này!
27 tháng 7 2017
a/ \(\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}\)
\(=\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}\)
\(=\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{5}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)
\(=\sqrt{5}-\sqrt{5}+1=1\)
b/ Câu hỏi của Nguyễn Trung Anh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath giống câu này.
27 tháng 12 2018
a ) \(\sqrt{\left(\sqrt{5}-3\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}\)
\(=\left|\sqrt{5}-3\right|+\left|\sqrt{5}-2\right|\)
\(=3-\sqrt{5}+\sqrt{5}-2\)
\(=1\)
b ) \(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\)
\(=\sqrt{5+2\sqrt{15}+3}-\sqrt{5-2\sqrt{15}+3}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}\)
\(=\left|\sqrt{5}+\sqrt{3}\right|-\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|\)
\(=2\sqrt{3}\)
c ) \(\sqrt{3}x^2-\sqrt{12}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}x^2=\sqrt{12}\)
\(\Leftrightarrow x^2=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=2\)
\(\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\)
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.
Do you a boy or girl ?