Question

[???]

                                      Đề luyện thi HSG số 5

Bài 1 (3 điểm) Thực hiện phép tính:

a) \(A = (0,3(4) + 1,(62) : 14\frac{7}{11} - \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{0,8(5)} : \frac{90}{11}) . \frac{315}{106} : \frac{1}{2007}\)

b) \(A = (\frac{\frac{4}{15} + \frac{4}{35} + \frac{4}{63} +...+ \frac{4}{399}}{\frac{3}{8.11} + \frac{3}{11.14} +...+ \frac{3}{197.200}}) . \frac{201420142014}{201520152015}\)

c) \(C = 1 + \frac{1}{2} . (1 + 2) + \frac{1}{3} . (1 + 2 +3) +\frac{1}{4} . (1 + 2 + 3 + 4) + ...+ \frac{1}{2015} . (1 + 2 + 3 +...+2015)\)

Bài 2 (10 điểm) Tìm x, y, z biết:

a) \((1 - x) . (2x + 3) < 0\)

b) \((2x - 1)^4 = 16\)

c) \((2x + 1)^4 = (2x + 1)^6\)

d) \(\frac{x - 1}{-15} = \frac{-60}{x-1}\)

e) \(-4x . (x - 5) - 2x . (8 - 2x) = -3\)

f) \(3x = 27; 7y = 5z \) và \(x - 7 + z = 32\)

g) \(\frac{2x + 1}{5} = \frac{3y - 2}{7} = \frac{2x + 3y - 1}{6x}\)

h) \(\frac{x+6}{2002} + \frac{x + 5}{2003} + \frac{x + 4}{2004} = \frac{x + 3}{2005} + \frac{x + 2}{2006} + \frac{x + 1}{2007}\)

Bài 3 (1,5 điểm) Bốn lớp 7A, 7B, 7C, 7D đi lao động trồng cây. Biết rằng số cây trồng của bốn lớp 7A, 7B, 7C, 7D lần lượt tỉ lệ với 0,8; 0,9; 1; 1,1 và lớp 7B trồng nhiều hơn lớp 7A là 5 cây. Tính số cây mỗi lớp đã trồng.

Bài 4 (1,5 điểm)

a) Tìm các số a₁, a₂, a₃,..., a₁₀₀, biết \(\frac{a_{1} - 1}{100} = \frac{a_{2} - 2}{99} = \frac{a_{3} - 3}{98} =...= \frac{a_{100} - 100}{1}\) và \(a_{1} + a_{2} + a_{3} +...+ a_{100} = 10100\)

b) Biết rằng: \(1^4 + 2^4 + 3^4 +...+ 10^4 = 25333\). Tính \(S = 2^4 + 4^4 + 6^4 +...+ 20^4\)

Bài 5 (1,5 điểm) Cho 3 số x, y, z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện: \(\frac{y + z -x}{x} = \frac{z + x -y}{y} = \frac{x +y - z}{z}\). Hãy tính giá trị của biểu thức \(A = (1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{x})(1 + \frac{z}{x})\)

Bài 6 (3,0 điểm) Cho \(\Delta ABC\), gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NC lấy điểm E sao cho NE = NC. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm E, A, D thẳng hàng

b) A là trung điểm của ED

Answer 1

[tth_new]

Bài easy quá mà!

4. a) Áp dụng tỉ dãy số bằng nhau:

\(\frac{a_1-1}{100}=\frac{a_2-2}{99}=...=\frac{a_{100}-100}{1}\)

\(=\frac{\left(a_1+a_2+...+a_{100}\right)-\left(1+2+...+100\right)}{100+99+...+2+1}=\frac{5050}{5050}=1\)

Suy ra: \(a_1-1=100\Leftrightarrow a_1=101\)

\(a_2-2=99\Leftrightarrow a_2=101\)

.......v.v...

\(a_{100}-100=1\Leftrightarrow a_{100}=101\)

Do đó: \(a_1=a_2=a_3=...=a_{100}=101\)

Answer 2

[tth_new]

Bài 5/

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau,ta có: \(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)\(=\frac{2x}{x}\)

Suy ra:

 \(\frac{y+z-x}{x}=\frac{2x}{x}\Leftrightarrow y+z-x=2x\Rightarrow x=y=z\) (vì nếu \(x\ne y\ne z\Rightarrow y+z-x\ne2x\) "không thỏa mãn")

Thay vào A,ta có: \(A=\left(1+\frac{x}{x}\right)\left(1+\frac{y}{y}\right)\left(1+\frac{z}{z}\right)=2.2.2=8\)