Question

[Pham Trong Bach]

Để chặn đường hành lang hình chữ L người ta dung một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ bên). Biết rằng và hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu?

A. 18 5

B. 27 5

C. 15 5

D. 12 5

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Theo bài ra, thanh sào sẽ đi qua các điểm B, M , C (hình vẽ dưới)

Suy ra độ dài thanh sào là 

Đặt ,do đó  L = 24 sin   x + 3 cos   x

Yêu cầu bài toán  ⇔ L m i n ⇔ f ( x ) = 24 sin   x + 3 cos   x   m i n

Ta có  f ' ( x ) = 3   sin   x cos 2 x - 24   cos   x sin 2 x = 0 ⇔ sin 3 x = 8 cos 3 x ⇔ tan   x = 2 ⇒ cos   x   = 1 1 + tan 2 x = 1 5 ⇒ sin   x = 1 - cos 2 x = 2 5

Suy ra m i n ( 0 ; π 2 ) f ( x ) = 15 5  . Vậy độ dài tối thiểu của thanh sào là  15 5

Chọn C.