Question

[zZz Cool Kid_new zZz]

Đây là lần đầu tiên mình viết Topic ( mỗi ngày vài bài toán );mình biết còn thơ dại mong các bạn bỏ qua các lỗi nhỏ nhé,với lại tham gia nhiệt tình vào nha !

Bài 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của \(H=x+y+z\)  biết \(x\ge4;y\ge5;z\ge6;x^2+y^2+z^2\ge90\)

Bài 2:Cho các số thực a,b,c,d biết \(\hept{\begin{cases}a+b+c+d=0\\a^3+b^3+c^3+d^3=0\end{cases}}\).Chứng minh rằng trong 4 số sẽ có 1 số bằng 0

Bài 3:

Cho nửa đường tròn tâm ( O ) đường kính BC và điểm A trên nửa đường tròn ( O ) ( A khác B,C ).Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ).I,K lần lượt đối xứng với H qua AB,AC.Đường thẳng IK và tia CA cắt tiếp tuyến kẻ từ B của ( O ) lần lượt tại M,N.Gọi E là giao điểm IH và AB, F là giao điểm KH và AC .Chứng minh:

a) I,A,K thẳng hàng và IK là tiếp tuyến của ( O )

b)  \(\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AN^2}\)

c)  Chứng minh M là trung điểm của BN và MC,AH,EF đồng quy

d)   Xác định A trên nửa đường tròn để \(S_{BIKC}\) đạt giá trị lớn nhất

e)   Chứng minh BE.CF.BC=AH³

f)    Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn ( O ) cắt IK tại P.Chứng mih NO ⊥ PB

g)    Chứng minh AO ⊥ EF

h)    Gọi Q,R lần lượt là giao diểm của OM,OP với AB,AC.Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MPRQ biết \(\widehat{ACB}=30^0\)

Hình vẽ:93418418_559150891386265_9019881176474583040_n.png (699×800)

Câu hình mình lấy trong sách nào đó nhá :) Làm được câu nào post lời giải ngay bên dưới luôn nha !

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

bài 1 :

Đặt \(x=4+a;y=5+b;z=6+c\) ( x,y,z \(\ge\)0 )

\(x^2+y^2+z^2=90\Leftrightarrow\left(4+a\right)^2+\left(5+b\right)^2+\left(6+c\right)^2=90\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+8a+10b+12c=13\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2\le\left(a+b+c\right)^2\\8a+10b+12c\le12\left(a+b+c\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow13\le\left(a+b+c\right)^2+12\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2+12\left(a+b+c\right)-13\ge0\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge1\)

Từ đó suy ra \(x+y+z=4+a+5+b+6+c\ge16\)

Min H = 16 khi x = 4 ; y = 5 ; z = 7

bài 2 :

\(\hept{\begin{cases}a+b+c+d=0\\a^3+b^3+c^3+d^3=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-\left(c+d\right)\\\left(a+b\right)^3+\left(c+d\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3cd\left(c+d\right)=0\left(1\right)\end{cases}}}\)

Từ ( 2 ) suy ra \(3ab\left(c+d\right)-3cd\left(c+d\right)=0\)\(\Rightarrow3\left(ab-cd\right)\left(c+d\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}ab=cd\\c+d=0\left(dpcm\right)\end{cases}}\)

với \(ab=cd\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{d}{b}=\frac{a+d}{b+c}=\frac{-\left(b+c\right)}{b+c}=-1\)

\(\Rightarrow a=-c;d=-b\Rightarrow a+c=b+d=0\)( dpcm )

Answer 2

[Thanh Tùng DZ]

bài 3 : 

( hình câu a,b,c,d,e )

a) \(\Delta ABC\)nội tiếp ( O ) đường kính BC nên vuông tại A \(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^o\)

Vì I đối xứng với H qua AB ; K đối xứng với H qua AC

\(\Rightarrow\Delta BIA=\Delta BHA\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BIA}=\widehat{BHA}=90^o;\widehat{IAB}=\widehat{HAB}\)

tương tự : \(\widehat{AHC}=\widehat{AKC}=90^o;\widehat{HAC}=\widehat{KAC}\)

Ta có : \(\widehat{IAK}=\widehat{IAH}+\widehat{HAK}=2\widehat{BAH}+2\widehat{HAC}=2\widehat{BAC}=180^o\)

suy ra I,A,K thẳng hàng

Ta có : AI = AK ( = AH ) nên A là trung điểm của IK

Dễ thấy BIKC là hình thang vuông có OA là đường trung bình nên \(OA//BI//KC\)nên OA \(\perp\)IK

suy ra IK là tiếp tuyến của ( O )

b) \(\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{AN^2+AB^2}{AB^2.AN^2}=\frac{BN^2}{AB^2.AN^2}\Leftrightarrow\left(BH.BN\right)^2=\left(AB.AN\right)^2\)

Cần chứng minh BH . BN = AB . AN

vì BN // AH nên \(\widehat{ABN}=\widehat{BAH}\)

\(\Rightarrow\Delta ABH~\Delta BNA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AB}{BH}=\frac{BN}{AN}\Rightarrow BH.BN=AB.AN\)

\(\Rightarrow dpcm\)

c) Ta có : \(\hept{\begin{cases}OM\perp AB\\AB\perp AC\end{cases}\Rightarrow OM//AC}\)

\(\Delta BNC\)có BO = OC ; OM // NC nên NM = BM hay M là trung điểm của BN

Dễ thấy AEHF là hình chữ nhật nên EF đi qua trung điểm của AH  ( 1 ) 

Xét hình thang ANBH có M là trung điểm của BN ; NA và BH cắt tại C nên MC đi qua trung điểm của AH ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra MC,AH và EF đồng quy

d) \(S_{BIKC}=\frac{\left(BI+KC\right).IK}{2}=\frac{\left(BH+HC\right).\left(AI+AK\right)}{2}=\frac{BC.2AH}{2}=2R.AH\)

Để \(S_{BIKC}\)đạt giá trị lớn nhất thì AH max 

Mà AH \(\le R\)\(\Rightarrow S_{BIKC}\)đạt giá trị lớn nhất là \(2R^2\)khi A nằm chính giữa cung BC

e) Áp dụng các hệ thức lượng, ta có :

\(AH^2=BH.HC\); \(BH^2=BE.AB;HC^2=CF.AC;AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH^4=BH^2.HC^2=BE.AB.CF.AC=AH.BC.BE.CF\)

\(\Rightarrow AH^3=BE.CF.BC\)