Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(A=n^3+3n^2+5n+3\)=\(n^3-n+3n^2+6n+3\)
=\(n\left(n^2-1\right)+3\left(n^2+2n+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)^2\)
Vì \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\)
Mà \(3\left(n+1\right)^2⋮3\) nên \(A=n^3+3n^2+5n+3⋮3\) với mọi n
vì 3n^2 và 3 chia hết cho 3 nên xét n^3 + 5n = n(n^2 + 5)
nếu n chia hết cho 3 thì ....
nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 chia 3 dư 1 suy ra n^2 + 5 chia hết cho 3
ta có n là số nguyên dương => n là số tự nhiên khác 0
A = n3 + 3n2 + 5n +3
= (n3 - n) + 3(n2 +2n +1)
= n(n - 1)(n + 1) + 3(n2 + 2n +1)
ta thấy n(n-1)(n+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp
mà tích 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3
=> n(n-1)(n+1) chia hết cho 3
mặc khác 3(n2 + 2n +1) luôn chia hết cho 3
=> n(n-1)(n+1) + 3(n2 + 2n +1) chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương
=> n3 + 3n2 + 5n +3 luôn chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương
Lời giải:
\(A=n^3+3n^2+5n+3\)
\(A=n^2(n+1)+2n(n+1)+3(n+1)\)
\(A=(n+1)(n^2+2n+3)\)
Nếu \(n=3k\Rightarrow n^2+2n+3=9k^2+6k+3=3(3k^2+2k+1)\)
\(\Rightarrow n^2+2n+3\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3\)
Nếu \(n=3k+1\Rightarrow n^2+2n+3=n(n+2)+3\)
\(=(3k+1)(3k+3)+3=3[(3k+1)(k+1)+1]\vdots 3\)
\(\Rightarrow A\vdots 3\)
Nếu \(n=3k+2\Rightarrow n+1=3k+3=3(k+1)\vdots 3\)
\(\Rightarrow A\vdots 3\)
Từ các TH trên suy ra A luôn chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên $n$
A=n^3+3n^2+5n+3
=n^3+5n+3n^2+3
=n(n^2+5)+3(n^2+1)
do 3(n^2+1) luôn chia hết cho 3 nên mik chỉ xét n(n^2+5)
đặt n=3k suy ra 3k((3k)^2+5) luôn chia hết cho 3 suy ra A chia hết cho 3
đặt n=3k+1 suy ra (3k+1)((3k+1)^2+5)=(3k+1)(9k^2+6k+1+5)=(3k+1)(9k^2+6k+6)=(3k+1)3(3k^2+2k+2) chia hết cho 3 suy ra A chia hết cho 3
đặt n=3k+2 suy ra (3k+2)((3k+2)^2+5)=(3k+2)(9k^2+12k+4+5)=(3k+2)(9k^2+12k+9)=(3k+2)3(3k^2+4k+3) chia hết cho 3 suy ra A chia hết cho 3
vậy A luôn chia hết cho 3 với mọi giá trị của n
1: \(\Leftrightarrow3n^3+n^2+9n^2+3n-3n-1-4⋮3n+1\)
\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;4;2;-2;-1;-4\right\}\)
\(\Leftrightarrow3n\in\left\{0;3;-3\right\}\)
hay \(n\in\left\{0;1;-1\right\}\)
\(a,n^5-5n^3+4n\)
\(=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)
\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)
\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-4\right)\right]\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2;3;4;5\)\(\Rightarrow\) \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\) Hay \(n^5-5n^3+4⋮120\)
\(A=n^3+3n^2+5n+3\)
\(A=n^3+3n^2+2n+3n+3\)
\(A=n^3+n^2+2n^2+2n+3n+3\)
\(A=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+3n+3\)
\(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\)
Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\forall n\in Z^+\)
Lại có:\(3\left(n+1\right)⋮3\forall n\in Z^+\)
\(\Rightarrow A⋮3\left(đpcm\right)\)