Question

[Pham Trong Bach]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x 3 − 3 m + 2 x 2 + 3 m 2 + 4 m x + 1  nghịch biến trên khoảng 0 ; 1 ?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B.

Phương pháp: 

Hàm số y = f x  nghịch biến trên khoảng a ; b ⇔ f ' x ≤ 0 , ∀ x ∈ a ; b ,  bằng 0 tại hữu hạn điểm trên a ; b .  

Cách giải:

y = x 3 − 3 m + 2 x 2 + 3 m 2 + 4 m x + 1 ⇒ y ' = 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m  

Hàm số

y = x 3 − 3 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m x + 1

nghịch biến trên khoảng 0 ; 1 ⇔ f ' x ≤ 0 ,   ∀ x ∈ 0 ; 1 ,  bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1).

⇔ 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m ≤ 0 ,    ∀ x ∈ 0 ; 1 ,

bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0;1).

Xét phương trình

⇔ 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m = 0    *

  Δ ' = 9 m + 2 2 − 3.3 m 2 + 4 m = 36 > 0 ,    ∀ m ⇒

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt  x 1 , x 2

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) thì x 1 ≤ 0 < 1 ≤ x 2  

⇔ x 1 x 2 ≤ 0 1 − x 1 1 − x 2 ≤ 0 ⇔ x 1 x 2 ≤ 0 1 + x 1 x 2 − x 1 + x 2 ≤ 0 ⇔ m 2 + 4 m ≤ 0 1 + m 2 + 4 m − 2 m − 4 ≤ 0  

⇔ − 4 ≤ m ≤ 0 − 3 ≤ m ≤ 1 ⇔ − 3 ≤ m ≤ 0

Mà m ∈ Z ⇒ m ∈ − 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 ⇒

Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.