Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có
\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+2\right)\)
Ta có \(n\left(n-1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 2 vì có tích 2 số tự nhiên liên tiếp
\(n\left(n-1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 3 ví là tích 3 số tự nhiên liên tiếp
Mà (2;3)=1
=>\(n^3-n\) chia hết cho 6 (đpcm)
Ta có : \(n^3-n\)
\(=n\left(n^2-1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Ta có : \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2.3 = 6
x6m+4+x6n+2+1=x6m+4-x4+x6n+2-x2+x4+x2+1
=x4.(x6m-1)+x2.(x6n-1)+(x4+x2+1)
Vì x6m-1 chia hết cho x6-1 , x6n-1 chia hết cho x6-1 và
x6-1=(x3+1)(x3-1) chia hết cho x2-x+1
x4+x2+1=(x2+1)2-x2 chia hết cho x2-x+1
=> đpcm
Vì n và n + 1 là 2 STN liên tiếp nên đa thức có dạng:
\(\left(x^{2k}-1\right)\left(x^{2k+1}-1\right)\)
\(=\left(x^2-1\right)P\left(x\right)\left(x-1\right)Q\left(x\right)\)
\(=\left(x-1\right)\left(x+1\right)P\left(x\right)\left(x-1\right)Q\left(x\right)\)
\(=\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2P\left(x\right)Q\left(x\right)⋮\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2\)
1./ Khẳng định 1: Với mọi p tự nhiên > 0, ta đều có: yp - 1 = (y - 1)*(yp-1 + yp-2 + yp-3 +... + y + 1)
Hay yp - 1 chia hết cho y - 1 với mọi y nguyên > 1.
2./ Nếu m = n = 0 thì hiển nhiên x3*0+1 + x3*0+2 + 1 = x2 + x + 1 chia hết cho: x2 + x + 1
3./ Nếu m; n không đồng thời bằng 0 thì:
Viết \(A=x^{3m+1}+x^{3n+2}+1=x\cdot x^{3m}-x+x^2\cdot x^{3n}-x^2+x^2+x+1.\)
\(A=x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)+x^2+x+1\)
\(A=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)+x^2\left(\left(x^3\right)^n-1\right)+x^2+x+1\)
Áp dụng khẳng định 1 cho m, n tự nhiên > 0 ta có:
\(\left(x^3\right)^m-1\)và \(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho x3 - 1. Mà x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)
=> \(\left(x^3\right)^m-1\)và \(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho x2 + x + 1
=> A chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m,n là số tự nhiên. đpcm
Với m,n là các số tự nhiên ta có \(x^{3m+1}+x^{3n+1}+1=\left(x^{3m+1}-x\right)+\left(x^{3n+2}-x\right)+x^2+x+1\)
Ta thấy:
ii/ x^(3n + 2) - x^2 = x^2[(x^3)^n - 1] chia hết cho x^3 - 1, và vì x^3 - 1 chia hết cho x^2 + x + 1 nên x^(3n + 2) - x^2 chia hết cho x^2 + x + 1.
Từ đó suy ra [x^(3m + 1) - x] + [x^(3n + 2) - x^2] + (x^2 + x + 1) chia hết cho x^2 + x + 1, hay x^(3m + 1) + x^(3n + 2) + 1 chia hết cho x^2 + x + 1. Đây là điều phải chứng minh.