Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)
Kẻ phân giác AD,BK vuông góc với AD
sin A/2=sinBAD
xét tam giác AKB vuông tại K,có:
sinBAD=BK/AB (1)
xét tam giác BKD vuông tại K,có
BK<=BD thay vào (1):
sinBAD<=BD/AB(2)
lại có:BD/CD=AB/AC
=>BD/(BD+CD)=AB/(AB+AC)
=>BD/BC=AB/(AB+AC)
=>BD=(AB*BC)/(AB+AC) thay vào (2)
sinBAD<=[(AB*BC)/(AB+AC)]/AB
= BC/(AB + AC)
=>ĐPCM
A B C D H K a, Vẽ phân giác AD của góc BAC
Kẻ BH\(\perp\)AD tại H ; CK\(\perp AD\) tại K
Dễ thấy \(sin\widehat{A_1}=sin\widehat{A_2}=sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{CK}{AC}=\dfrac{BH+CK}{AB+AC}\le\)\(\le\dfrac{BD+CD}{b+c}=\dfrac{a}{b+c}\)
b, Tượng tự \(sin\dfrac{B}{2}\le\dfrac{b}{a+c};sin\dfrac{C}{2}\le\dfrac{c}{a+b}\)
Mặt khác \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\)
\(\Rightarrow sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}\le\dfrac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{8}\)
3. Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ hình và thiết lập các hệ thúc tính TSLG của góc B từ đó suy ra các hệ thức tính TSLG góc C
Bài 2:
\(=\left(sin^2a+cos^2a\right)^3-3sin^2a\cdot cos^2a\left(sin^2a+cos^2a\right)+3sin^2a\cdot cos^2a\)
\(=1-3\cdot sin^2a\cdot cos^2a+3\cdot sin^2a\cdot cos^2a\)
=1
a) ta có : \(A=\dfrac{sin33}{cos57}+\dfrac{tan32}{cot58}-2\left(sin20.cos70+cos20.sin70\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{sin33}{cos\left(90-33\right)}+\dfrac{tan32}{cot\left(90-32\right)}-2\left(sin20.cos\left(90-20\right)+cos20.sin\left(90-20\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{sin33}{sin33}+\dfrac{tan32}{tan32}-2\left(sin20.sin20+cos20.cos20\right)\)\(\Leftrightarrow A=1+1-2\left(sin^220+cos^220\right)=1+1-2=0\)
b) sữa đề chút nha
ta có : \(B=\dfrac{sin^215+sin^275-sin^212-sin^278}{cos^213+cos^277+cos^21+cos^289}+\dfrac{2tan55}{cot35}\)
\(\Leftrightarrow B=\dfrac{sin^215+sin^2\left(90-15\right)-sin^212-sin^2\left(90-12\right)}{cos^213+cos^2\left(90-13\right)+cos^21+cos^2\left(90-1\right)}+\dfrac{2tan\left(90-35\right)}{cot35}\)
\(\Leftrightarrow B=\dfrac{sin^215+cos^215-sin^212-cos^212}{cos^213+sin^213+cos^21+sin^21}+\dfrac{2cot35}{cot35}\) \(\Leftrightarrow B=\dfrac{sin^215+cos^215-\left(sin^212+cos^212\right)}{cos^213+sin^213+cos^21+sin^21}+\dfrac{2cot35}{cot35}\)\(\Leftrightarrow B=\dfrac{1-1}{cos^213+sin^213+cos^21+sin^21}+2=0+2=2\)
Lời giải:
Theo hệ thức lượng trong tam giác:\(\sin ^2a=\frac{1-\cos 2a}{2}\)
Áp dụng vào bài toán và sử dụng định lý hàm cos:
\(\sin ^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}=\frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}=\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}\)
Ta cần CM \(\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}\leq \left (\frac{a}{b+c}\right)^2\Leftrightarrow (ab+ac)^2-(b^2-c^2)^2\leq 4a^2bc\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2\leq 2a^2bc+(b^2-c^2)^2\)
\(\Leftrightarrow (b^2-c^2)^2-a^2(b-c)^2\geq 0\Leftrightarrow (b-c)^2[(b+c)^2-a^2]\geq 0\)
BĐT luôn đúng do với \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh tam giác thì \(b+c>a\leftrightarrow (b+c)^2>a^2\)
Vậy \(\sin ^2\frac{A}{2}\leq \left (\frac{a}{b+c}\right)^2\Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{b+c}\) (đpcm)
Tương tự : \(\sin \frac{B}{2}\leq \frac{b}{a+c},\sin \frac{C}{2}\leq \frac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\leq \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Theo BĐT AM-GM: \((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\Rightarrow \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}\) (đpcm)