Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{1+2+3+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2.\left[1+2+3+...+\left(n-1\right)+n\right]-n}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2.\frac{\left(n+1\right)n}{2}-n}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(n+1\right)n-n}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n^2+n-n}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n^2}=n\)
Vậy \(\sqrt{1+2+3+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}=n\)
\(\sqrt{1+2+3+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}\\ =\sqrt{2\left[1+2+3+...+\left(n-1\right)+n\right]-n}\\ =\sqrt{2.\left(n+1\right).n:2-n}\\ =\sqrt{n\left(n+1\right)-n}\\ =\sqrt{n^2+n-n}\\ =\sqrt{n^2}\\ =n\)
Bài đầu đơn giản rồi , tự tính nhé <3
Bài 2
\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)
\(=3^n.3^2-2^n.2^2+3^n-2^n\)
\(=\left(3^n.3^2+1\right)-\left(2^n.2^2+1\right)\)
\(=3^n.10-2^n.5\)
\(=3^n.10-2^{n-1}.10\)
\(=10.\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)
Vậy.....
Áp dụng \(1+2+...+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\) thì ta được :
\(\sqrt{\left[1+2+3+...+\left(n-1\right)+n\right]+\left[n+\left(n-1\right)+...+3+2+1\right]-n}=2010\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2.\frac{n\left(n+1\right)}{2}-n}=2010\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n^2}=2010\Leftrightarrow n=2010\)
Xét số hạng tổng quát \(\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\) . Vì \(0<\frac{1}{n}<1\) nên \(1<1+\frac{1}{n}<2\) => \(\sqrt[n+1]{1}<\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}<\sqrt[n+1]{2}<\sqrt{2}\)
=> \(1<\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}<\sqrt{2}\approx1,41\) => phần nguyên các số có dạng \(\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}=1\)
A có n số hạng
Vậy A = \(\left[\sqrt{\frac{2}{1}}\right]+\left[\sqrt[3]{\frac{3}{2}}\right]+\left[\sqrt[4]{\frac{4}{3}}\right]+...+\left[\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\right]=1+1+1+..+1=n\)
\(\sqrt{1+2+3+...+n-1+n-1+...+3+2+1}\)
\(=\sqrt{2\left[1+2+3+...+n-1\right]+n}\)
\(=\sqrt{\frac{2\left[n-1\right]n}{2}}+n=\sqrt{n^2}=n\)=> ĐPCM