Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(DK:a,b\ge0\)
\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge\sqrt{a+b}^2\)
\(\Leftrightarrow a+2\sqrt{ab}+b\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
Ta thấy:\(2\) vế luôn dương với mọi \(a,b\)
Bình phương 2 vế của BĐT ta có:
\(\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\ge\left(\left|a+b\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2\left|ab\right|+b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left|ab\right|\ge2ab\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(ab\ge0\)
Lưu ý: Copy lời giải nhớ ghi nguồn.
a) Vì 2 vế ko âm nên bình phương cả 2 vế ta dc :
\(\left|x+y\right|^2\le\left|x\right|^2+\left|y\right|^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right).\left(x+y\right)\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\le x^2+2\left|x\right|\left|y\right|+y^2\)
\(\Rightarrow xy\le\left|xy\right|\) (Luôn đúng với mọi \(x,y\))
Vậy bất đẳng thức trên đúng. Dấu "=" xảy ra khi \(\left|xy\right|=xy\) \(\Leftrightarrow x,y\) cùng dấu
Vậy \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\rightarrowđpcm\)
b) Áp dụng câu a ta có :
\(\left|x-y\right|+\left|y\right|\ge\left|x-y+y\right|=\left|x\right|\Rightarrow\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
Vậy \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\rightarrowđpcm\)
a) vì x,y \(\in\)Z \(\Rightarrow\)x + y \(\in\)Z
\(\Rightarrow\)[ x + y ] = x + y ( 1 )
[ x ] = x ; [ y ] = y
\(\Rightarrow\)[ x ] + [ y ] = x + y ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)[ x + y ] = [ x ] + [ y ]
b) Ta có : y = [ y ] + { y } trong đó [ y ] \(\in\)Z ; 0 \(\le\){ y } < 1
\(\Rightarrow\)[ x + y ] = [ x + [ y ] + { y } ] ( 1 )
x \(\in\)Z ; [ y ] \(\in\)Z ; x + [ y ] \(\in\)Z
Từ ( 1 ) \(\Rightarrow\)[ x + y ] = [ x + [ y ] ] = x + [ y ]
Ta có : \( \left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\ge\left(\left|a+b\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|a\right|\right)^2+2\left|ab\right|+\left(\left|b\right|\right)^2\ge\left(\left|a\right|\right)^2+2ab+\left(\left|b\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\) ( Luôn đúng )
Dấu ""=" xảy ra \(\Leftrightarrow a\cdot b\ge0\)
Với mọi a,b \(\in\)Q, ta luôn có
a \(\le|a|\) và -a \(\le|a|\)
b\(\le|b|\)và - b \(\le|b|\)
suy ra a+b \(\le|a|\)+\(|b|\) và -a-b \(\le|a|\)+\(|b|\)
vậy \(|a+b|\)\(\le|a|\)+\(|b|\)
dấu "=" khi và chỉ khi ab \(\ge\)0