Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tôi cũng là của FC Real Madrid ở Hà Nam.
Chúng mình kết bạn nhé.hihi.
Trước hết ta chứng minh BĐT
\(\frac{2k-1}{2k}< \frac{\sqrt{3k-2}}{\sqrt{3k+1}}\left(1\right)\)
Thật vậy, (1) \(\Leftrightarrow\left(2k-1\right)\sqrt{3k+1}< 2k\sqrt{3k-2}\)\(\Leftrightarrow\left(4k^2-4k+1\right)\left(3k+1\right)< 4k^2\left(3k-2\right)\)
\(\Leftrightarrow12k^3-8k^2-k+1< 12k^3-8k^2\)\(\Leftrightarrow k-1>0\left(\forall k\ge2\right)\)
Trong (1), lần lượt thay k bằng 1,2,...,n ta được:
\(\frac{1}{2}\le\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}},\frac{3}{4}\le\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}},....,\frac{2n-1}{2n}< \frac{\sqrt{3n-2}}{\sqrt{3n+1}}\)
Nhân từng vế các BĐT trên ta có:
\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}....\frac{2n-1}{2n}< \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}.\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{7}}...\frac{\sqrt{3n-2}}{\sqrt{3n+1}}=\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n^2+n+2n+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n+1\right).\left(n+2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{\left(n+2\right)-\left(n+1\right)}{\left(n+2\right).\left(n+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{x+2}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)