Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Mincopxki ta có:
\(VT=\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\)
\(=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}}+\sqrt{\left(y+\frac{z}{2}\right)^2+\frac{3z^2}{4}}+\sqrt{\left(x+\frac{z}{2}\right)^2+\frac{3z^2}{4}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z+\frac{x+y+z}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}\left(x+y+z\right)}{2}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)^2}{4}+\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{4}}\)
\(=\sqrt{3\left(x+y+z\right)^2}=\sqrt{3}\left(x+y+z\right)=VP\)
ta sử dụng bđt :\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)(dk mọi abcd)
cái này cm dễ thôi. bunhia nha
ĐĂT :\(A=\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\left(\frac{y\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(y+\frac{z}{2}\right)^2+\left(\frac{z\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(z+\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^2}\)
Áp dingj bđt trên ta được \(A\ge\sqrt{\left(x+\frac{y}{2}+y+\frac{z}{2}+z+\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}+\frac{y\sqrt{3}}{2}+\frac{z\sqrt{3}}{2}\right)^2}\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{\frac{9}{4}\left(x+y+z\right)^2+\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)^2}=\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)(dpcm)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)
Theo giả thiết,ta có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}=\frac{3}{abc}\)
Nhân hai vế với abc: \(a+b+c=3\) tức là \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Lại có:\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{xyz}\)
Ta cần c/m: \(A\ge\frac{3}{2}\)
Do x,y,z > 0 áp dụng BĐT Cô si: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=xy+yz+zx\)
Áp dụng BĐT Cô si: \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)
\(=3xyz.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)\(\ge3xyz.\frac{xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{3\left(x^2y^2z+xy^2z^2+x^2yz^2\right)}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\ge\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+1\right)-6xyz}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left[xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1\right]-6xyz}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz\left[3xyz+1\right]-6xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{9x^2y^2z^2-3xyz}\)
Đặt \(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}\)
Ta sẽ c/m: \(B\ge\frac{2}{3}\).Thật vậy,ta có:
\(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}=3-\frac{3}{3xyz}\)\(=3-\frac{1}{xyz}\ge0\)
Suy ra \(A\ge0?!?\) có gì đó sai sai.Ai biết chỉ giùm
Nghĩ mãi mới ra -.- Để ý cái số mũ 3 trên tử khó mà dùng trực tiếp Cô-si hoặc Bunhia nên phải tách nó ra
Ta có: \(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x^3+xz}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\)
\(\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}\)(Cô-si)
\(=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)
\(\ge x-\frac{z+1}{4}\)(Dùng bđt \(\sqrt{z}\le\frac{z+1}{2}\))
Tương tự \(\frac{y^3}{y^2+z}\ge y-\frac{x+1}{4}\)
\(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{y+1}{4}\)
Cộng từng vế của các bđt trên lại được
\(A\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{4}\)
\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\)
Từ điều kiện \(xy+yz+zx=3xyz\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)được
\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)
Quay trở lại với A
\(A\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\ge\frac{3.3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)(Do \(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\xy+yz+zx=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy .............
a.ta có:
\(x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\)
vì \(\left(x-y\right)^2\ge0,\left(y-z\right)^2\ge0,\left(z-x\right)^2\ge0\)
do đó :
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x-y-z
b. ta có:
\(x^2+y^2+z^2-\left(2xy-2zx+2yz\right)\)
\(=x^2+y^2+z^2-2xy-2zx+2yz\)
\(=\left(x-y+z\right)^2\ge0\)
do đó \(x^2+y^2+z^2\ge2xy-2xz+2yz\)