Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{2}{c}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{b}=\frac{2}{c}-\frac{1}{a}=\frac{2a-c}{ac}\\\frac{1}{a}=\frac{2}{c}-\frac{1}{b}=\frac{2b-c}{bc}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a-c=\frac{ac}{b}\\2b-c=\frac{bc}{a}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a+c}{2a-c}=\frac{b\left(a+c\right)}{ac}=\frac{ab}{ac}+\frac{bc}{ac}=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\\\frac{b+c}{2b-c}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{ab}{bc}+\frac{ac}{bc}=\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{2}{c}=0\Leftrightarrow\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}\ge2\) ( áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) )
Ta có : \(\frac{a+c}{2a-c}+\frac{b+c}{2b-c}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\frac{a+b}{c}\ge2+2=4\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Chúc bạn học tốt !!!
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Do a,b,c đối xứng , giả sử \(a\ge b\ge c\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge b^2\ge c^2\\\frac{a}{b+c}\ge\frac{b}{a+c}\ge\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Trư - bê - sép , ta có :
\(a^2.\frac{a}{b+c}+b^2.\frac{b}{a+c}+c^2.\frac{c}{b+c}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\left(\frac{a}{b+C}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
\(vậy\) \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{1}{2}\)( Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Chebyshev như vầy nhé :
Ta có :
\(3.\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+c}\right)=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Nesbit , ta có :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra : \(3.\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\frac{3}{2}\)
<=> \(\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
2.
a, Có : (a+b+c).(1/a+1/b+1/c)
>= \(3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
= 9
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
2.
b, Xét : 2(a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9 ( theo bđt ở câu a đã c/m )
<=> (a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9/2
<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b + 3 >= 9/2
<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b >= 9/3 - 3 = 3/2
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
Đặt \(A=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)
Hmm... Ta có BĐT phụ : \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)"=" <=> x = y
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right);\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right);\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+ac+bc}{abc}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{3ab+3ac+3bc}{6abc}\)
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
\(\Rightarrow A\le\frac{3ab+3ac+3bc}{6abc}\le\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}{6abc}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6abc}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
\(a;b;c>0\) và \(a+b+c=0\)?
Làm sao để điều này xảy ra được?
à nhầm =1 @_@