Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử 2016k + 3 = a3 với k và a là số nguyên.
Suy ra: 2016k = a3 – 3
Ta thấy 2016k 7
Nên ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7 thì 2016k + 3 ≠ a3
Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r .
Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết cho 7.
Mà 2016k luôn chia hết cho 7,
nên a3 – 3 2016k.
Bài toán được chứng minh
Gọi số nguyên đó là a. Ta cần chứng minh
a3+11a⋮6a3+11a⋮6
Xét: a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6
Vậy ta có đpcm.
Lời giải:
Xét biểu thức A=n3−13nA=n3−13n. Ta cần cm A⋮6A⋮6
Thật vậy: A=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12nA=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12n
A=n(n−1)(n+1)−12nA=n(n−1)(n+1)−12n
Vì n,n−1n,n−1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)⋮2n(n−1)⋮2
⇒n(n−1)(n+1)⋮3⇒n(n−1)(n+1)⋮3
Vì n−1,n,n+1n−1,n,n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)(n+1)⋮3n(n−1)(n+1)⋮3
Kết hợp với (2,3) nguyên tố cùng nhau, do đó: n(n−1)(n+1)⋮6n(n−1)(n+1)⋮6
Mà 12n⋮612n⋮6
⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6
Ta có đpcm.
#)Giải :
Giả sử \(p^3+\frac{p-1}{2}\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow p^3+\frac{p-1}{2}=a\left(a+1\right)\Rightarrow2p\left(2p^2+1\right)=\left(2a+1\right)^2+1\)
Nếu \(p=3\Rightarrow p^3+\frac{p-1}{2}=3^3+\frac{3-1}{2}=27+1=28\left(ktm\right)\)
Nếu \(p\ne3\Rightarrow2p^2+1⋮3\Rightarrow\left(2a+1\right)^2+1⋮3\Rightarrow\left(2a+1\right)^2\div3\) dư 2 (mâu thuẫn)
\(\Rightarrowđpcm\)
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh , một số lập phương khi chia $7$ chỉ có thể có dư là \(0,1,6\)
Thật vậy: Xét số \(a^3\), có các TH sau:
+) \(a\equiv 0\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 0\pmod 7\)
+) \(a\equiv \pm 1\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv \pm 1\pmod 7\)
\(\Leftrightarrow a^3\equiv 1,6\pmod 7\)
+) \(a\equiv \pm 2\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv \pm 8\pmod 7\)
\(\Leftrightarrow a^3\equiv 1,6\pmod 7\)
+) \(a\equiv \pm 3\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv \pm 27\pmod 7\)
\(\Leftrightarrow a^3\equiv 1,6\pmod 7\)
Do đó, \(a^3\equiv 0,1,6\pmod 7\) (đpcm)
Mà \(2016k+3=7.288k+3\equiv 3\pmod 7\)
Cho nên , \(2016k+3\) không thể là lập phương của một số nguyên.