Question

[nguyễn thị kim oanh]

CMR: \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)

với a,b là số thực dương và a>b

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

Theo bài ra có có a>b>0 nên \(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{a-b}\)đều xác định và dương

Ta có: \(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\)là số dương 

\(\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)^2=a-b+2\sqrt{b\left(a-b\right)}+b=a+2\sqrt{b\left(a-b\right)}\)

Thấy \(2\sqrt{b\left(a-b\right)}>0\)nên \(\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)^2>a\left(1\right)\)

Ta có \(\sqrt{a}\)là số không âm và \(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\left(2\right)\)

Từ (1)(2) => \(\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)^2>\left(\sqrt{a}\right)^2\left(3\right)\)

Từ (3) theo định lý so sánh các căn bậc 2 số học 

=> \(\sqrt{\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)^2}>\sqrt{\left(\sqrt{a}\right)^2}\)

\(\orbr{\begin{cases}\left|\sqrt{a-b}+b\right|>\left|\sqrt{a}\right|\\\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a}\end{cases}}\)

=> ĐPCM