Question

[JOKER_Mizukage Đệ tứ]

CMR pt sau không có nghiệm nguyên:

      \(x^2-2y^2+8y=3\)

Answer 1

[Carthrine]

Ta có dễ thấy x lẻ nên suy ra x²−3≡6(mod 8) x 2−3≡6(mod 8) 
x lẻ nên x²−3≡2(mod 4) x 2−3≡2(mod 4) do đó 2y²≡2(mod 4)⇔y2y²≡2(mod 4)⇔y là số lẻ 
Do đó 2y²+8z≡2(mod 8) 2y²+8z≡2(mod 8) (vô lí) 
Vậy ta có đpcm 

Answer 2

[Đinh Thùy Linh]

Mình trình bày lại theo hướng đồng dư khi chia cho 8 của bạn Carthrine.

\(\Leftrightarrow x^2-3=2\left(y^2-4y\right)\)(1)

=> x lẻ. => x chia 4 dư 1 hoặc 3.

• Nếu x chia 4 dư 1 thì: x = 4k + 1 => \(x^2=16k^2+8k+1\)=> x² chia 8 dư 1.
• Nếu x chia 4 dư 3 thì: x = 4k + 3 => \(x^2=16k^2+24k+9\)=> x² chia 8 dư 1.

=> x² chia 8 dư 1 với mọi x lẻ.

=> x² - 3 chia 8 dư 6 => x² - 3 = 8m + 6

Từ (1) => 8m + 6 = 2y² - 8y <=> 4m + 3 = y² - 4y

=> y² = 4m + 4y + 3

=> y² chia 4 dư 3 - Vô lý vì với y nguyên thì số chính phương y² không thể có dạng 4n + 3.

Do đó, PT đã cho không có nghiệm x;y nguyên.