Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
BĐT của bạn bị ngược dấu, mà có vẻ các mẫu số cũng ko đúng (để ý mẫu số thứ 2 và thứ 3 đều có chung xy+xz ko hợp lý)
Le Tran Anh này, bạn biết làm không mà bảo ng khác ngu? Nếu biết thì giải đi...
Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược (Proof by Contradiction). Giả sử bất đẳng thức trên không đúng, tức là: (5x^3 - y^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) + (5y^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z^3) + (5z^3 - x^3)/(3z^2 + xz + 5x^3) > x + y + z Ta có thể viết lại bất đẳng thức trên thành: (5x^3 - y ^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) - x + (5y^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z^3) - y + (5z^3 - x^3 )/(3z^2 + xz + 5x^3) - z > 0 Tiếp theo, ta nhận thấy rằng với mọi a, b > 0, ta luôn có: (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2) - a > 0 and (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2) - b > 0. Vì vậy, áp dụng bất đẳng thức trên từng phần thức trong tổng, ta có: (5x^3 - y^3)/(3x^2 + xy + 5y^3) - x > 0 (5y ^3 - z^3)/(3y^2 + yz + 5z ^3) - y > 0 (5z^3 - x^3)/(3z^2 + xz + 5x^3) - z > 0 Khi đặt a = x^3, b = y^3, c = z^3, ta có: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) - a^(1/3) > 0 (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) - b^(1/3) > 0 (5c - a)/(3c^2 + ac + 5a) - c^(1/3) > 0 Nói cách khác, ta có các bất đẳng thức sau: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) > a^(1/3) (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) > b^(1/3) ( 5c - a)/(3c^2 + ac + 5a) > c^( 1/3) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 3a^2 + ab + 5b ≥ 3∛(15a^2b) 3b^2 + bc + 5c ≥ 3∛(15b^2c) 3c^2 + ac + 5a ≥ 3∛(15c^2a) Khi đặt A = 3a^2 + ab + 5b, B = 3b^2 + bc + 5c, C = 3c^2 + ac + 5a, ta có: A > a ^ (1/3) B > b^(1/3) C > c^(1/3) Từ đó, ta có: (A + B + C) > (a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3)) Nhưng A, B, C lần lượt tương ứng với các số mẫu trong bất đẳng thức ban đầu, ta thu được: (5a - b)/(3a^2 + ab + 5b) + (5b - c)/(3b^2 + bc + 5c) + (5c - a)/(3c^ 2 + ac + 5a) > (a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3)) Tuy nhiên, điều này trái với giả định ban đầu.
Xem lại đề đi bạn. Thấy có vẻ sai sai sao ấy Kan Zandai Nalaza
\(\left\{{}\begin{matrix}xy-2x-y=2\\yz-3y-2z=3\\xz-3x-z=13\end{matrix}\right.\)
Dễ thấy \(z=3\) không phải là nghiệm của hệ.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x.\dfrac{3+2z}{z-3}-2x-\dfrac{3+2z}{z-3}=2\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\xz-3x-z=13\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4z-3}{9}\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\z.\dfrac{4z-3}{9}-3.\dfrac{4z-3}{9}-z=13\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4z-3}{9}\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\z^2-6z-27=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4z-3}{9}\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\\left(z-9\right)\left(z+3\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=9\\x=\dfrac{11}{3}\\y=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}z=-3\\x=-\dfrac{5}{3}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Vì \(xy+yz+xz=5\Rightarrow x^2+5=x^2+xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+5=(x+y)(x+z)\)
\(\Rightarrow \sqrt{6(x^2+5)}=\sqrt{6(x+y)(x+z)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{6(x+y)(x+z)}=\frac{\sqrt{6}}{2}.2\sqrt{(x+y)(x+z)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(x+y+x+z)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{6(x^2+5)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(2x+y+z)\)
Thực hiện tương tự với các hạng tử còn lại suy ra:
\(\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{6(z^2+5)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(4x+2y+4z)=2\sqrt{6}(x+y+z)\)
\(\Rightarrow \frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{6(z^2+5)}}\geq \frac{3(x+y+z)}{2\sqrt{6}(x+y+z)}=\frac{3}{2\sqrt{6}}\)
Vậy min bằng \(\frac{3}{2\sqrt{6}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
Ta có
\(3x^2+3y^2+z^2=\left(2x^2+\frac{z^2}{2}\right)+\left(2y^2+\frac{z^2}{2}\right)+\left(x^2+y^2\right)\ge2\left(xz+yz+xy\right)=2\cdot5=10\left(dpcm\right)\)