Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cái này là bđt bunhia thì fai bn mở sách ra tham khảo đi
\(1,a+b+c=0\Leftrightarrow a=-b-c\Leftrightarrow a^2=b^2+2bc+c^2\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2-2bc\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=c^2-2ab\\c^2+a^2=b^2-2ac\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow N=\dfrac{a^2}{a^2-a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2-b^2+2ca}+\dfrac{c^2}{c^2-c^2+2ac}\\ \Leftrightarrow N=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3-3abc+3abc}{2abc}\\ \Leftrightarrow N=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc}{2abc}\\ \Leftrightarrow N=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
Câu 2: \(\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)^2=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+6\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{z}\right)^2\left(\frac{yz}{x}\right)^2\left(\frac{xy}{y}\right)^2}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^2}}=3\)\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge\sqrt{3+6}=3\left(dpcm\right)\)
tại sao lại suy ra đc \(3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^{^2}}}=3\) vậy cậu?
a/ \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
b/Đặt biểu thức vế trái là Q
\(\frac{1}{a+b+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}\right)+\frac{1}{12}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(Q\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\right)+\frac{1}{4}\)
Xét \(P=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+1}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+1}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+1}\)
\(P\le\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{xyz}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(P\le\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{1}{4}.1+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)