Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Bu- nhi - a:
\(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\)\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(p-a+p-b+p-c\right)}\)
\(=\sqrt{3\left(3p-2p\right)}=\sqrt{3p}\)(Vì p là nửa chu vi nên \(a+b+c=2p\))
Do a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b-c>0;b+c-a>0;c+a-b>0\)
Đặt \(x=b+c-a>0\)
\(y=a+c-b>0\)
\(z=a+b-c>0\)
\(\Rightarrow a=\frac{"y+z"}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{"x+z"}{2}\)
\(\Rightarrow c=\frac{"x+y"}{2}\)
\(A=\frac{a}{"b+c-a"}+\frac{b}{"a+c-b"}+\frac{c}{"a+b-c"}\)
\(=\frac{"y+z"}{"2x"}+\frac{"x+z"}{"2y"}+\frac{"x+y"}{"2z"}\)
\(=\frac{1}{2}."\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\)
Áp dụng công thức bdt Cauchy cho 2 số :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
Cộng 3 bdt trên, suy ra :
\("\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\ge6\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}.6=3\) "dpcm"
P/s: Nhớ thay thế dấu ngoặc kép thành dấu ngoặc đơn nhé
\(\Leftrightarrow2\left(p-a\right).2\left(p-b\right).2\left(p-c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(2p-2a\right)\left(2p-2b\right)\left(2p-2c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)
Đặt \(a+b-c=x;\text{ }b+c-a=y;\text{ }c+a-b=z\)
Thì \(a=\frac{x+z}{2};\text{ }b=\frac{y+x}{2};\text{ }c=\frac{z+y}{2}\)
Nên cần chứng minh:
\(xyz\le\frac{1}{8}\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Điều này là hiển nhiên khi ta áp dụng bđt Côsi cho VP.
Vậy ta có đpcm.
a = 60cm
p = 160/2 = 80cm
p = \(\dfrac{a+b+c}{2}\) (1) => \(\dfrac{2p-a}{2}\) = \(\dfrac{b+c}{2}\)
Vì a, p là 1 hằng số nên để S đạt GTLN <=> (p-b) và (p-c) đạt GTLN
Áp dụng bđt Cosin, ta có:
\(\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) <= \(\dfrac{p-b+p-c}{2}\) = \(\dfrac{2p-b-c}{2}\)
=> \(\dfrac{S}{\sqrt{p\left(p-a\right)}}\) <= \(p-\dfrac{b+c}{2}\) = \(p-\dfrac{2p-a}{2}\) = \(\dfrac{a}{2}\)
=> 2S <= \(a\sqrt{p\left(p-a\right)}\) = \(60\sqrt{80.\left(80-60\right)}\) = 2400
=> S <= 1200 (\(cm^2\))
Dấu "=" xảy ra
<=> \(p-b\) = \(p-c\)
<=> b = c
Thay b = c vào (1), ta được:
p = \(\dfrac{a+2b}{2}\) => 80 = \(\dfrac{60+2b}{2}\) => b = c = 50 (cm)
=> đpcm
Do a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên:
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge27-8abc-18\left(a+b+c\right)+12\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\frac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{16}{3}\left(ab+bc+ca\right)-12\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{8}{3}\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)-12\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{8}{3}\left(a+b+c\right)^2+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)^2-12=13\)