Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt sau : \(\frac{a^n+b^n}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^n}{2}\)ta được
\(\frac{1}{\left(1+a\right)^n}+\frac{1}{\left(1+b\right)^n}\ge2\left(\frac{\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}}{2}\right)^n\)
Ta đi c/m bđt phụ : Với a,b > 1 thì \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)(1)
Bđt (1) \(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)+2}{1+\left(a+b\right)+ab}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)(Quy đồng VT)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)+2+\left(a+b\right)\sqrt{ab}+2\sqrt{ab}\ge2+2\left(a+b\right)+2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\sqrt{ab}-1\right)+2\sqrt{ab}\left(1-\sqrt{ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(a+b-2\sqrt{ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(Luôn đúng vs mọi a;b > 1)
Áp dụng bđt (1) được
\(\frac{1}{\left(1+a\right)^n}+\frac{1}{\left(1+b\right)^n}\ge2\left(\frac{\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}}{2}\right)^n\ge2\left(\frac{1}{1+\sqrt{ab}}\right)^n=\frac{2}{\left(1+\sqrt{ab}\right)^n}\)
Dấu "=" xảy ra tại a = b
Áp dụng buổi thức đơn ta được
\(\sqrt[a]{b}\)\(a+b:2\)\(>\)ta được
\(\frac{1}{1+A}\)+ \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(\frac{A+B=2}{ }\)
\(\frac{A+B=2}{1+A+B}\)
\(VẬY\)Nếu bạn làm tắt theo mik thì
Mik chưa ra đáp án được vì
\(B\sqrt[A]{B}\)CHỖ B BỊ LỖI
MAGICPENCIL,HÃY LUÔN :-)
Bài 1:
Ta có: a,b không âm(gt)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}\) và \(\sqrt{b}\) được xác định
Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng hằng đẳng thức \(a^n-1=\left(a-1\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+....+a^2+a+1\right)\)
để thu gọn biểu thức rồi lập hiệu A - B để so sánh
Mấy bài này đã có người làm rồi nhé bạn vào câu hỏi tương tự mà xem.
BĐT chỉ đúng với điều kiện \(a;b\) dương, còn a, b âm thì sai hoàn toàn
Khi \(a;b\) dương, biến đổi tương đương:
\(\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}\ge\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{a^{n-2}+b^{n-2}}\Leftrightarrow\left(a^n+b^n\right)\left(a^{n-2}+b^{n-2}\right)\ge\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^{2\left(n-1\right)}+b^{2\left(n-1\right)}+a^nb^{n-2}+a^{n-2}b^n\ge a^{2\left(n-1\right)}+b^{2\left(n-1\right)}+2a^{n-1}b^{n-1}\)
\(\Leftrightarrow a^nb^{n-2}+a^{n-2}b^n\ge2a^{n-1}b^{n-1}\) (luôn đúng theo BĐT Cauchy)
Vậy BĐT được chứng minh