NN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
26 tháng 11 2020
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
3 tháng 3 2020
Bài 2 :
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{a+b+c}{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot1=4\)
( Do \(a+b+c=abc\) )
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\) (đpcm)
P/s : Cho hỏi bài 1 có a,b,c > 0 không ?
3 tháng 3 2020
Khuyến mãi thêm bài 1 :))
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{b^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\) (1)
Tương tự ta có :
\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)(2), \(\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge\frac{2c}{b}\) (3)
Cộng các vế của BĐT (1) (2) và (3) và chia 2 ta có :
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
27 tháng 2 2020
Với a,b,c > 0 ta có :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+\left(b+c\right)}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\)( Áp dụng \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\) )
Tương tự ta cũng có :
\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế , ta được :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu " = " xay ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{matrix}\right.\), vô nghiệm vì a,b,c >0
Do đó : \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\left(1\right)\)
Lại có :
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng lại ta được :
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2 ) \(\Rightarrowđpcm\)
Chúc bạn học tốt !!
LA
28 tháng 3 2019
Ta có
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\)
Tương tự
\(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{c^2-bc+ab-a^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\)
\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2-ac+bc-b^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2+c^2-bc+ab-a^2+a^2-ac+bc-b^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(a-b\right)}\)
=0 ( ĐPCM)
W
3
10 tháng 2 2018
a, Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2+b^2-2ab >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> a^2+b^2+2ab >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
Vì a,b > 0 nên ta chia 2 vế bđt cho (a+b).ab ta được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=> 1/a+1/b >= 4/a+b
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b>0
Tk mk nha