Câu hỏi của Quoc Tran Anh Le

Question

CMR: $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}⋮59\left(\forall n\in N\right)$

Mysterious Person · Accepted Answer

với $n=0$ ta thấy nó thỏa mãn điều kiện bài toán

giả sử $n=k$ thì ta có : $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}=5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}⋮59$

khi đó nếu $n=k+1$ thì ta có :

$5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}=5^{k+1+2}+26.5^{k+1}+8^{2k+2+1}$

$=5.5^{k+2}+5.26.5^k+8^2.8^{2k+1}=5.5^{k+2}+5.26.5^k+5.8^{2k+1}+59.8^{2k+1}$

$=5\left(5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}\right)+59.8^{2k+1}⋮59$

$\Rightarrow\left(đpcm\right)$Câu trả lời: với $n=0$ ta thấy nó thỏa mãn điều kiện bài toán

giả sử $n=k$ thì ta có : $5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}=5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}⋮59$

khi đó nếu $n=k+1$ thì ta có :

$5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}=5^{k+1+2}+26.5^{k+1}+8^{2k+2+1}$

$=5.5^{k+2}+5.26.5^k+8^2.8^{2k+1}=5.5^{k+2}+5.26.5^k+5.8^{2k+1}+59.8^{2k+1}$

$=5\left(5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}\right)+59.8^{2k+1}⋮59$

$\Rightarrow\left(đpcm\right)$