Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2/
a/ \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}}=2\), dấu "=" khi \(a=1\)
b/ \(a+b+\frac{1}{2}=a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{4}\)
c/ Có lẽ bạn viết đề nhầm, nếu đề đúng thế này thì mình ko biết làm
Còn đề như vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\) thì làm như sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) ; \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{2}{\sqrt{xz}}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\)
Dấu "=" khi \(x=y=z\)
d/ \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}-\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}\)
\(=\frac{7+4\sqrt{3}}{3-4}-\frac{7-4\sqrt{3}}{3-4}=-7-4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=-8\sqrt{3}\)
e/ \(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{ab}}-\left(a-b\right)\) (bạn chép đề sai)
\(a,A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}\)
\(=\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+...+\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\)
\(=\frac{1-\sqrt{100}}{-1}=9\)
\(b,B=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{99}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{99}}>\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)\(\Rightarrow B>2\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+..+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\right)\)
\(\Rightarrow B>2\left(\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+...+\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\right)\)
\(\Rightarrow B>2\left(\frac{1-\sqrt{100}}{-1}\right)\)
\(\Rightarrow B>2.9=18\left(ĐPCM\right)\)
Ta có \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{47}+\sqrt{48}}=\frac{1-\sqrt{2}}{\left(1-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{4}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}\)
Ta có:
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{47}+\sqrt{48}}\)
\(=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}+...+\frac{\sqrt{47}-\sqrt{48}}{-1}\)
\(=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{4}+...+\sqrt{47}-\sqrt{48}}{-1}\)
\(=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{48}}{-1}\)
\(=4\sqrt{3}-1\approx5,9>3\left(đpcm\right)\)
Câu 1 khai phương, rút gọn, quy đồng rồi tính được kết quả là 8+\(\sqrt{3}\)
Nói tóm lại là áp dụng các công thức biến đổi đơn giản và quy đồng là ra hết. Làm câu 2 với câu 3 trước ấy, 2 câu đấy dễ hơn.
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}>\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\)
Tương tự với các biểu thức còn lại rồi cộng vế với vế ta có:
\(VT>\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{81}-1\right)=4\)
Mấy bài này đã có người làm rồi nhé bạn vào câu hỏi tương tự mà xem.
Tổng quát ta có: Với \(n\inℕ\)ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Với \(n=2\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
Với \(n=3\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}\)
...........................
Với \(n=79\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}=\sqrt{80}-\sqrt{79}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+.....+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)
\(=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+......+\sqrt{80}-\sqrt{79}\)
\(=\sqrt{80}-\sqrt{2}=\sqrt{40.2}-\sqrt{2}=\sqrt{40}.\sqrt{2}-\sqrt{2}\)
\(=\sqrt{2}.\left(\sqrt{40}-1\right)>\sqrt{2}.\left(\sqrt{36}-1\right)\)
\(=\sqrt{2}.\left(6-1\right)=5\sqrt{2}>4\)( đpcm )