Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2.\left(-\frac{1}{xy}-\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2.\frac{x-y-z}{xyz}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)
a/ \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(2+x^2+y^2\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+x^2+y^2+2xy+xy\left(x^2+y^2\right)\ge2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ Để biểu thức xác định \(\Rightarrow x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\)
\(4=\frac{y^2}{4}+x^2+\frac{1}{x^2}+x^2\ge\frac{y^2}{4}+2\sqrt{\frac{x^2}{x^2}}+1\ge\frac{y^2}{4}+3\)
\(\Rightarrow\frac{y^2}{4}\le1\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2=0\\y^2=1\\y^2=4\end{matrix}\right.\)
\(y^2=0\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=4\Rightarrow2x^4-4x^2+1=0\) (ko tồn tại x nguyên tm)
\(y^2=1\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=3\Rightarrow2x^4-3x^2+1=0\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=...\)
\(y^2=4\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn
1) VT= \(\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+1}+\frac{xyz}{xyz+z+zx}\)
\(=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{xy}{1+x+xy}+\frac{xyz}{z\left(x+xy+1\right)}\)
\(=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{1+x+xy}+\frac{xy}{1+x+xy}\)
\(=\frac{1+x+xy}{1+x+xy}=1\)
Bài 2 giả thiết trên tử làm mell gì có bình phương, nếu có thì tính làm gì nữa :D, kết quả là 2016(x+y+z)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Dấu = xaỷ ra khi x=y=1/2
BĐT schwarz mk chưa học đến bn có thể giúp mình cách khác đc ko
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
=>\(a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2czax\)
=>\(a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2=2axby+2bycz+2czax\)
=>\(\left(a^2y^2-2aybx+b^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bzcy+c^2y^2\right)+\left(c^2x^2-2cxaz+a^2z^2\right)=0\)
=>\(\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(cx-az\right)^2=0\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\left(ay-bx\right)^2\ge0\\\left(bz-cy\right)^2\ge0\\\left(cx-az\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(cx-az\right)^2\ge0}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\bz-cy=0\\cx-az=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay=bx\\bz=cy\\cx=az\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\end{cases}\Rightarrow}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}}\) (đpcm)
Câu b) x/y + y/x >hoặc = 2
<=> x/y + y/x - 2 > hoặc = 0
<=> x^2 + y^2 -2xy /xy >hoặc =0
<=> (x-y)^2 /xy > hoặc = 0
(x-y)^2 > hoặc = 0 với mọi x;y .Dấu"=" xảy ra khi x=y
vì x;y cùng dấu =>xy>0
=>(x-y)^2 / xy > hoặc = 0 luôn luôn đúng.
Mà các Phép biến đổi trên là tương đương
=>x/y + y/x >hoặc =2 với mọi x;y cùng dấu. Dấu "=" xảy ra khi x=y. Nhớ nhé
Câu g) a^2 + b^2 > hoặc =1/2 với a+b=1
vì a+b=1 =>(a+b)^2 = 1 =>(1*a+1*b)^2 =1
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho 4 số 1;1;a;b ta có
(1*a+1*b)^2 < hoặc = (1^2 + 1^2 )(a^2 + b^2).Dấu "=" xảy ra khi 1^2 / a^2 = 1^2 /b^2 =>1/a = 1/b=>a=b=1/2
Hay 1< hoặc = 2(a^2 +b^2) .Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2
=>a^2 + b^2 > hoặc = 1/2.Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2 =>đpcm
1) Ta có: \(a+b=1\Rightarrow b=1-a\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=a^2+\left(1-a\right)^2\)
\(=a^2+1-2a+a^2\)
\(=2a^2-2a+1\)
\(=2.\left(a^2-a+\frac{1}{2}\right)\)
\(=2.\left(a^2-2.\frac{1}{2}.a+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\)
\(=2.\left[a^2-2.\frac{1}{2}.a+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right]\)
\(=2.\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)(BĐT đúng)\(\Rightarrow\)đpcm