NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
0
AS
1
15 tháng 10 2022
\(=3^n\left(2^{2n}\cdot3^2+3^2+1\right)=3^n\left(2^{2n}\cdot9+10\right)\)
Nếu n=1 thì biểu thức này không chia hết cho 11 nha bạn
=>Đề sai
CM
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2020
Lời giải:
Bài toán cần bổ sung điều kiện $n\in\mathbb{N}>1$
Quy nạp.
Với $n=2,3$ thì bài toán hiển nhiên đúng
.....
Giả sử bài toán đúng đến $n$. Tức là:
$A_n=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}....\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với $n+1$, tức là $A_{n+1}< \frac{1}{\sqrt{3n+4}}$
Thật vậy:
$A_{n+1}=A_n.\frac{2n+1}{2n+2}< \frac{1}{\sqrt{3n+1}}.\frac{2n+1}{2n+2}$
Giờ chỉ cần CM: $\frac{1}{\sqrt{3n+1}}.\frac{2n+1}{2n+2}< \frac{1}{\sqrt{3n+4}}$
$\Leftrightarrow (2n+1)^2(3n+4)< (2n+2)^2(3n+1)$
$\Leftrightarrow -n< 0$ (luôn đúng)
Vậy phép quy nạp hoàn thành. Ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2018
1/
\(n^3+2013n^2+2n=n^3+3n^2+2n+2010n^2=n\left(n^2+3n+2\right)+2010n^2\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2\)
Do \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)
Lại có \(2010⋮6\Rightarrow2010n^2⋮6\)
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2⋮6\) (đpcm)
2/ Giả sử A là số chính phương, đặt \(A=k^2\) với \(k\in N\)
\(\Rightarrow n^2+10n+136=k^2\Leftrightarrow\left(n+5\right)^2+111=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(n+5\right)^2-k^2=-111\Leftrightarrow\left(n+k+5\right)\left(n-k+5\right)=-111\)
Do \(n+k+5\ge5\) nên ta có các trường hợp sau:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}n+k+5=37\\n-k+5=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=12\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}n+k+5=111\\n-k+5=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=50\)
Vậy \(n=\left\{12;50\right\}\)
30 tháng 12 2018
1.
Ta có \(n^3+2013n^2+2n=n^3+3n^2+2n+2010n^2=n^3+n^2+2n^2+2n+2010n^2=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+2010n^2=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)+2010n^2=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2\)
Ta lại có \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là 3 số nguyên liên tiếp\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\left(1\right)\)
Mà \(2010⋮6\Leftrightarrow2010n^2⋮6\left(2\right)\)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2010n^2⋮6\) hay \(n^3+2013n^2+2n⋮6\)
2.
Đặt \(n^2+10n+136=k^2\left(k\in N\right)\Leftrightarrow n^2+2.n.5+25+111=k^2\Leftrightarrow\left(n+5\right)^2+111=k^2\Leftrightarrow111=k^2-\left(n+5\right)^2\Leftrightarrow\left(k+n+5\right)\left(k-n-5\right)=111\)(*)
Vì 111 là số nguyên tố và k+n+5>k-n-5
Vậy (*)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}k+n+5=111\\k-n-5=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}k+n=106\\k-n=6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}k=56\\n=50\end{matrix}\right.\)
Vậy n=50 thì n2+10n+136 là số chính phương