Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Với \(n=4\Rightarrow3^3>4.6\) (đúng)
- Giả sử BĐT đã cho đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)
- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay: \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
Thật vậy, do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\), ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k=\left(k^2+4k+3\right)+\left(2k^2+2k-3\right)\)
\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+k+\left(k-3\right)>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)
\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=C_n^0+C_n^1.\dfrac{1}{n}+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=1+1+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}>2\)
Mặt khác:
\(C_n^k.\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!.n^k}=\dfrac{\left(n-k+1\right)\left(n-k+2\right)...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}< \dfrac{n.n...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{n^k}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{k!}\)
\(< \dfrac{1}{k\left(k-1\right)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\)
Do đó:
\(C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< 2+1=3\) (đpcm)
* Ta có u 1 = 9 1 − 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng với n = 1).
* Giả sử u k = 9 k − 1 chia hết cho 8.
Ta cần chứng minh u k + 1 = 9 k + 1 − 1 chia hết cho 8.
Thật vậy, ta có u k + 1 = 9 k + 1 − 1 = 9.9 k − 1 = 9 9 k − 1 + 8 = 9 u k + 8 .
Vì 9 u k và 8 đều chia hết cho 8, nên u k + 1 cũng chia hết cho 8.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì u n chia hết cho 8.
\(2^2+5^2+8^2+...+\left(3n-1\right)^2=\dfrac{n\left(6n^2+3n-1\right)}{2}\left(1\right)\)
Với n=1
\(VT=4;VP=4\)
(1) đúng với n=1
Giả sử (1) đúng với n=\(k\ge1\)
\(2^2+5^2+8^2+...+\left(3k-1\right)^2=\dfrac{k\left(6k^2+3k-1\right)}{2}\)
Ta cần phải chứng minh (1) đúng với n=k+1
\(\Leftrightarrow2^2+5^2+8^2+...+\left(3k-1\right)^2+\left[3\left(k+1\right)-1\right]^2=\dfrac{\left(k+1\right)\left[6\left(k+1\right)^2+3\left(k+1\right)-1\right]}{2}\)
\(\Leftrightarrow2^2+5^2+8^2+...+\left(3k-1\right)^2+\left(3k+2\right)^2=\dfrac{\left(k+1\right)\left(6k^2+15k+8\right)}{2}\)
\(VT=\dfrac{k\left(6k^2+3k-1\right)}{2}+\left(3k+2\right)^2=\dfrac{6k^3+3k^2-k+18k^2+24k+8}{2}\)
\(=\dfrac{6k^3+21k^2+23k+8}{2}=\dfrac{6k^3+15k^2+8k+6k^2+15k+8}{2}\)
\(=\dfrac{k\left(6k^2+15k+8\right)+\left(6k^2+15k+8\right)}{2}=\dfrac{\left(6k^2+15k+8\right)\left(k+1\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow VT=VP\)
suy ra đpcm
Đáp án là C. Ta có a,b∈N* không suy ra a -1, b -1∈N* . Do vậy không áp dụng được giả thiết quy nạp cho cặp {a -1, b -1}.
Chú ý: nêu bài toán trên đúng thì ta suy ra mọi số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này là vô lí.
Ta chứng minh bằng quy nạp:
- Với \(n=4\) BĐT trở thành \(3^3>4.6\) (đúng)
- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)
Ta cần chứng minh BĐT cũng đúng với \(n=k+1\)
Hay \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
Thật vậy, ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3.k\left(k+2\right)=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\)
Do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\Rightarrow2k^2+2k-3>0\)
\(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
\(\Rightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)