Question

[khang]

cm n(n+1)(n-10)chia hết 6 với mọi số nguyên n

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Vì $n,n+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên một trong hai số là số chẵn, một số là số lẻ.

$\Rightarrow n(n+1)\vdots 2$

$\Rightarrow n(n+1)(n-10)\vdots 2(1)$

Mặt khác:

Nếu $n$ chia hết cho 3 thì $n(n+1)(n-10)\vdots 3$

Nếu $n$ chia 3 dư 1. Đặt $n=3k+1$ với $k$ nguyên thì $n-10=3k-9=3(k-3)\vdots 3$

$\Rightarrow n(n+1)(n-10)\vdots 3$

Nếu $n$ chia 3 dư 2. Đặt $n=3k+2$ với $k$ nguyên thì $n+1=3k+3=3(k+1)\vdots 3$

$\Rightarrow n(n+1)(n-10)\vdots 3$
Vậy $n(n+1)(n-10)\vdots 3$ với mọi $n$ nguyên (2)

Từ $(1); (2)$ mà $(2,3)=1$ nên $n(n+1)(n-10)\vdots (2.3)$ hay $n(n+1)(n-10)\vdots 6$