Question

[hanh]

cm n^5-5*n^3+4*n chia hết cho 120 với mọi n thuộc z

Answer 1

[Biện Văn Hùng]

n^5-5*5^3+4*n=(n^5-n^3)-(4n^3-4n)=n^3(n^2-1)-4n(n^2-1)=(n^3-4n)(n^2-1)=n(n^2-4)(n^2-1)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)

vì(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 và 5

Mà (3;5)=1=>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 15

vì trong năm số nguyên liên tiếp thì có ít nhất một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4

=>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 8

Mà (8;15)=120

=> (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 120

hay n^5-5*n^3+4*n