Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A\cap B=[0;7)\)
\(\Rightarrow A\cap B\cap C=\left(6;7\right)\)
\(\Rightarrow C_R\left(A\cap B\cap C\right)=(-\infty;6]\cup[7;+\infty)\)
1. Ta có: \(a-b+\dfrac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge\dfrac{4}{b+1}\)
\(a+\dfrac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge\dfrac{4}{b+1}+b\)(1)
lại có: \(\dfrac{4}{b+1}+b+1\ge4\)
\(\dfrac{4}{b+1}+b\ge3\)(2)
Từ (1),(2) ta có:\(a+\dfrac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=\dfrac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\\b+1=\dfrac{4}{b+1}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)
2. Ta có\(\dfrac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge3\)
\(\Leftrightarrow2a^3+1\ge12ab-12b^2\)
\(\Leftrightarrow2a^3+1-12ab+12b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^3-3a^2+1+3\left(a-2b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+1\right)\left(a-1\right)^2+3\left(a-2b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\a-2b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Đây nhá:)Sửa đề:
Chứng minh rằng \(\Sigma S_a\left(b-c\right)^2\ge S\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Nếu \(s_a+S_b\ge0;S_b+S_c\ge0;2\sqrt{\left(S_a+S_b\right)\left(S_b+S_c\right)}+2S_b-S\left(c-a\right)\ge0\)
Xét TH \(a\ge b\ge c\) thì bđt đề bài hiển nhiên đúng nên ta chỉ xét:
\(a\le b\le c\) khi đó \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) (1)
Ta có: \(S_a\left(b-c\right)^2+S_b\left(c-a\right)^2+S_c\left(a-b\right)^2\)
\(=\left(S_a+S_b\right)\left(b-c\right)^2+\left(S_c+S_b\right)\left(a-b\right)^2+2S_b\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)
\(\ge2\sqrt{\left(S_a+S_b\right)\left(S_b+S_c\right)}\left(a-b\right)\left(b-c\right)+2S_b\left(b-c\right)\left(a-b\right)\)
(CÔ si)
Như vậy, BĐT đề bài sẽ được chứng minh nếu:
\(2\sqrt{\left(S_a+S_b\right)\left(S_b+S_c\right)}\left(a-b\right)\left(b-c\right)+2S_b\left(b-c\right)\left(a-b\right)\ge S\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(2\sqrt{\left(S_a+S_b\right)\left(S_b+S_c\right)}+2S_b-S\left(c-a\right)\right)\ge0\)
Và điều này luôn đúng theo (1) và giả thiết đề bài.
\(S_a\left(b-c\right)^2\) là gì vậy, cái này em chưa học. Giải thích đi để em xem thế nào...
Từ bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ta suy ra được \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
Áp dụng vào bài toán của bạn :
a/ \(y=\left(x+3\right)\left(5-x\right)\le\frac{\left(x+3+5-x\right)^2}{4}=...............\)
b/ Tương tự
c/ \(y=\left(x+3\right)\left(5-2x\right)=\frac{1}{2}.\left(2x+6\right)\left(5-2x\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(2x+6+5-2x\right)^2}{4}=.............\)
d/ Tương tự
e/ \(y=\left(6x+3\right)\left(5-2x\right)=3\left(2x+1\right)\left(5-2x\right)\le3.\frac{\left(2x+1+5-2x\right)^2}{4}=.......\)
f/ Xét \(\frac{1}{y}=\frac{x^2+2}{x}=x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{2}{x}}=2\sqrt{2}\)
Suy ra \(y\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
..........................
g/ Đặt \(t=x^2\) , \(t>0\) (Vì nếu t = 0 thì y = 0)
\(\frac{1}{y}=\frac{t^3+6t^2+12t+8}{t}=t^2+6t+\frac{8}{t}+12\)
\(=t^2+6t+\frac{8}{3t}+\frac{8}{3t}+\frac{8}{3t}+12\)
\(\ge5.\sqrt[5]{t^2.6t.\left(\frac{8}{3t}\right)^3}+12=.................\)
Từ đó đảo ngược y lại rồi đổi dấu \(\ge\) thành \(\le\)
c) theo bđt cauchy ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+1\ge2b\\a^2+1\ge2a\end{matrix}\right.\)
cộng hết lại rút 2 đi \(\Rightarrowđpcm\)
a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cộng theo vế 2 bđt trên ta có:
\(3\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
Dấu = khi a=b=c
b)Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc^2a}{ab}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca^2b}{bc}}=2a\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{b^2ac}{ac}}=2b\)
Cộng theo vế 3 bđt trên ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Đấu = khí a=b=c
\(\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|a+b\right|\right)^2\le\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le a^2+2\left|ab\right|+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab\le\left|ab\right|\) \(\left(2\right)\)
Bất đẳng thức \(\left(2\right)\) đúng \(\Rightarrow\) bất đẳng thức \(\left(1\right)\) đúng
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow ab=0\)
nhầm \(ab\ge0\)