Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
nhân cả 2 vế với 2 rồi biến đổi tương đương là ra kết quả bạn nhé
Xét hiệu:
(a + b + c)(x + y + z) - 3(ax + by + cz)
= a(x + y + z) - 3ax + b(x + y + z) - 3by + c(x + y + z) - 3cz
= a(x + y + z - 3x) + b(x + y + z - 3y) + c(x + y + z - 3z)
= a(y + z - 2x) + b(x + z - 2y) + c(x + y - 2z)
= a[(y - x) - (x - z)] + b[(z - y) - (y - x)] + c[(x - z) - (z - y)]
= (y - x)(a - b) + (x - z)(c - a) + (z - y)(b - c) \(\ge0\)
do \(a\ge b\ge c\) và \(x\le y\le z\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\left(đpcm\right)\)
áp dụng
\(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2};\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{[\left(x+y\right)^2}{2}+z^2].\left(\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2+\dfrac{1}{z^2}\right)\)
áp dụng \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow A\ge[\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2].\left(\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2+\dfrac{1}{z^2}\right)=[\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2].\left(\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)=4+1+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2z^2}+\dfrac{8z^2}{\left(x+y\right)^2}=5+\left(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2z^2}+\dfrac{z^2}{2\left(x+y\right)^2}\right)+\dfrac{15z^2}{2\left(x+y\right)^2}\ge5+2.\sqrt{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}}+\dfrac{15\left(x+y\right)^2}{2.\left(x+y\right)^2}=5+1+\dfrac{15}{2}=\dfrac{27}{2}\)
dbxr<=>y=x=z/2>0
\(x^2+y^2+z^2+t^2+k^2\ge x\left(y+z+t+k\right)\left(1\right)\)
<=>\(4x^2+4y^2+4z^2+4t^2+4k^2-4x\left(y+z+t+k\right)\ge0\)
<=>\(\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(x^2-4xz+4z^2\right)+\left(x^2-4xt+4t^2\right)+\left(x^2-4xk+4k^2\right)\ge0\)
<=>\(\left(x-2y\right)^2+\left(x-2z\right)^2+\left(x-2t\right)^2+\left(x-2k\right)^2\ge0\left(2\right)\)
bđt (2) luôn đúng với mọi x,y,z nên bđt (1) luôn đúng.
Ủng hộ cách khác nehhh ( Nay t rảnh quá làm cho zui thôi)
Áp dụng bđt Cauchy:
\(\dfrac{x^2}{4}+y^2\ge xy\)
\(\dfrac{x^2}{4}+z^2\ge xz\)
\(\dfrac{x^2}{4}+t^2\ge xt\)
\(\dfrac{x^2}{4}+k^2\ge xk\)
Cộng theo vế:
\(x^2+y^2+z^2+t^2+k^2\ge x\left(y+z+t+k\right)\)