Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}};...;\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\)
Do đó \(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\right)\)\(>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{80}-\sqrt{79}+\sqrt{81}-\sqrt{80}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(-\sqrt{1}+\sqrt{81}\right)=\frac{1}{2}\left(-1+9\right)=4\)
Suy ra đpcm.
Đặt \(A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{79}}\)
Suy ra
\(2A=2\left(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)
\(>\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\)
\(=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+....+\left(\sqrt{80}-\sqrt{79}\right)+\left(\sqrt{81}-\sqrt{79}\right)\)
\(=\sqrt{81}-1=9-1=8\Rightarrow2A>8\Leftrightarrow A>8\)( Đpcm)
Với mọi n nguyên dương ta có:
\(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Với k nguyên dương thì
\(\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)
\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\)(*)
Đặt A = vế trái. Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-\sqrt{1}\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\sqrt{5}-\sqrt{3}\)
...
\(\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-\sqrt{79}\)
Cộng tất cả lại
\(2A=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\left(đpcm\right)\)
3.
Theo bất đẳng thức cô si ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}\le\frac{a.b}{2}\)
Tương tự \(\Rightarrow b.\sqrt{a-1}\le\frac{a.b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}\le a.b\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)
\(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\ge2+\sqrt{22+\frac{1}{abc}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}\right)\)
\(\ge2+\sqrt{22+\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\ge2\sqrt{abc}+\sqrt{22abc+\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\)
\(\ge\left(a+b+c\right)^3+26abc+4\sqrt{abc}\sqrt{\left(a+b+c\right)^3+22abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
\(\ge13abc+2\sqrt{abc}\sqrt{\left(a+b+c\right)^3+22abc}\left(1\right)\)
Ta có:
\(VT_{\left(1\right)}=\frac{13}{27}\left(a+b+c\right)^2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)+\frac{14}{27}\left(a+b+c\right)^2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
\(\ge13abc+\frac{14}{27}\left(a+b+c\right)^2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
Ta cần chứng minh:
\(\frac{14}{27}\left(a+b+c\right)^2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
\(\ge2\sqrt{abc}\sqrt{\left(a+b+c\right)^3+22abc}\)
\(\Leftrightarrow7\left(a+b+c\right)^2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
\(\ge27\sqrt{abc}\sqrt{\left(a+b+c\right)^3+22abc}\)
\(\Leftrightarrow49\left(a+b+c\right)^4\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)^2\)
\(\ge27^2abc\left[\left(a+b+c\right)^3+22abc\right]\left(2\right)\)
Lại có:
\(VT_{\left(2\right)}\ge49\left(a+b+c\right)^3\cdot27abc\)
Ta chứng minh
\(49\left(a+b+c\right)^3\cdot27abc\ge27^2abc\left[\left(a+b+c\right)^3+22abc\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge27abc\)
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng theo Cô-si 3 số.
Vậy bđt đã được chứng minh.
Dấu = khi a=b=c
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}>\frac{1}{2\sqrt{1}+2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\)
Tương tự với các biểu thức còn lại rồi cộng vế với vế ta có:
\(VT>\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{81}-1\right)=4\)
a, \(\frac{1}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}\) +\(\frac{1}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}\) =\(\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}\)
\(=\frac{10}{1}=10\)
mấy câu còn lại bạn tự làm nốt nhé mk ban rồi
Bạn ơi thứ nhất là làm ơi đặt câu hỏi hẳn hoi không thừa không thiếu đây bạn bài 1, 2 còn không cách ra đề bài thừa nhiều gây khó đọc và làm có khi là sai sẽ mất công người giải và chú ý là một câu hỏi thì chỉ nên hỏi một bài hoặc cụm câu liên quan tới nhau nha
Ta có
\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Áp dụng vào A ta được
\(A=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{80}-\sqrt{79}\)
\(=\sqrt{80}-1>\sqrt{25}-1=4\)
Chỗ nào không hiểu thì cứ hỏi nhé