K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HP
1
NA
30 tháng 5 2018
Đặt: \(VT=\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\)
Theo BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{1}{9}\left(y+2\right)\ge\frac{2}{3}x\) và \(\frac{y^2}{z+2}+\frac{1}{9}\left(z+2\right)\ge\frac{2}{3}y\)và \(\frac{z^2}{x+2}+\frac{1}{9}\left(x+2\right)\ge\frac{2}{3}z\)
Cộng vế theo vế, ta có:
\(VT\ge\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)-\frac{1}{9}\left(x+y+z+6\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{5}{9}\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\) ( 1 )
Theo BĐT Cauchy, ta chứng minh được:
@ \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow3xyz\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow3\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Leftrightarrow\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge\frac{1}{3}\)
@ \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\ge\frac{9}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\ge\frac{9}{3}=3\) ( 2 )
Từ (1) và (2) \(\Leftrightarrow VT\ge\frac{5}{9}.3-\frac{2}{3}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)( thỏa đề bài )
T
17 tháng 1 2019
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)
Theo giả thiết,ta có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}=\frac{3}{abc}\)
Nhân hai vế với abc: \(a+b+c=3\) tức là \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Lại có:\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{xyz}\)
Ta cần c/m: \(A\ge\frac{3}{2}\)
Do x,y,z > 0 áp dụng BĐT Cô si: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=xy+yz+zx\)
Áp dụng BĐT Cô si: \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)
\(=3xyz.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)\(\ge3xyz.\frac{xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{3\left(x^2y^2z+xy^2z^2+x^2yz^2\right)}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\ge\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+1\right)-6xyz}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left[xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1\right]-6xyz}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz\left[3xyz+1\right]-6xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{9x^2y^2z^2-3xyz}\)
Đặt \(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}\)
Ta sẽ c/m: \(B\ge\frac{2}{3}\).Thật vậy,ta có:
\(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}=3-\frac{3}{3xyz}\)\(=3-\frac{1}{xyz}\ge0\)
Suy ra \(A\ge0?!?\) có gì đó sai sai.Ai biết chỉ giùm
18 tháng 1 2019
Nghĩ mãi mới ra -.- Để ý cái số mũ 3 trên tử khó mà dùng trực tiếp Cô-si hoặc Bunhia nên phải tách nó ra
Ta có: \(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x^3+xz}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\)
\(\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}\)(Cô-si)
\(=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)
\(\ge x-\frac{z+1}{4}\)(Dùng bđt \(\sqrt{z}\le\frac{z+1}{2}\))
Tương tự \(\frac{y^3}{y^2+z}\ge y-\frac{x+1}{4}\)
\(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{y+1}{4}\)
Cộng từng vế của các bđt trên lại được
\(A\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{4}\)
\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\)
Từ điều kiện \(xy+yz+zx=3xyz\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)được
\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)
Quay trở lại với A
\(A\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\ge\frac{3.3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)(Do \(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\xy+yz+zx=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy .............
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 5 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\text{VT}=x-\frac{x}{x^2+z}+y-\frac{y}{y^2+x}+z-\frac{z}{z^2+y}=(x+y+z)-\left(\frac{x}{x^2+z}+\frac{y}{y^2+x}+\frac{z}{z^2+y}\right)\)
\(\geq (x+y+z)-\left(\frac{x}{2\sqrt{x^2z}}+\frac{y}{2\sqrt{y^2x}}+\frac{z}{2\sqrt{z^2y}}\right)=(x+y+z)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)(1)\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Cauchy-Schwarz:
\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3(2)\)
\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(1+1+1)=9\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\leq 3(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Mặt khác: \(\text{VP}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{3}{2}\)
Do đó \(\text{VT}\geq \text{VP}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
22 tháng 7 2019
2) Có: \(x^3+y^3=\sqrt{\left(x.x^2+y.y^2\right)^2}\le\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)}\)
And: \(\sqrt{x^3y^3}=\left(\sqrt{xy}\right)^6\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^6=1\)
\(\Rightarrow\)\(x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le\sqrt{x^3y^3}\sqrt{x^3y^3\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)}=\sqrt{xy\left(x^2+y^2\right).x^2y^2\left(x^4+y^4\right)}\)
Theo bài 1 thì \(xy\left(x^2+y^2\right)\le2\) do đó theo cách đặt \(x^2=a;y^2=b\) ta cũng có: \(x^2y^2\left(x^4+y^4\right)=ab\left(a^2+b^2\right)\le2\)
Do đó: \(x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le\sqrt{2.2}=2\) ( đpcm )
22 tháng 7 2019
\(VT=\frac{x^4}{x^4+3xyzt}+\frac{y^4}{y^4+3xyzt}+\frac{z^4}{z^4+3xyzt}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+t^4+12xyzt}\)
Có: \(4abcd=4\sqrt{a^2b^2.c^2d^2}\le2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)
Tương tự, ta cũng có:
\(4abcd\le2\left(a^2c^2+b^2d^2\right)\)
\(4abcd\le2\left(d^2a^2+b^2c^2\right)\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+t^4+2\left(xy+yz+zt+tx+yz+zt\right)}=1\) ( đpcm )
VA
0
TT
1