Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Chia hết cho 3:
- Mọi số nguyên tố \(p > 3\) không thể chia hết cho 3.
- Vậy khi chia \(p\) cho 3, chỉ có thể dư 1 hoặc 2.
- Trường hợp 1: \(p \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
\(\Rightarrow p - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\).
Vậy \(\left(\right. p - 1 \left.\right) \left(\right. p + 1 \left.\right)\) chia hết cho 3.
Trường hợp 2: \(p \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
\(\Rightarrow p + 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\).
Vậy \(\left(\right. p - 1 \left.\right) \left(\right. p + 1 \left.\right)\) chia hết cho 3.
=> trong mọi trường hợp, \(\left(\right. p - 1 \left.\right) \left(\right. p + 1 \left.\right)\) chia hết cho 3.
2. Chia hết cho 8:
- Với \(p > 3\), ta biết \(p\) là số nguyên tố lẻ.
- Khi đó \(p - 1\) và \(p + 1\) là hai số chẵn liên tiếp.
Ví dụ: nếu \(p = 5\) thì \(p - 1 = 4 , p + 1 = 6\).
Nếu \(p = 7\) thì \(p - 1 = 6 , p + 1 = 8\).
- Hai số chẵn liên tiếp luôn có một số chia hết cho 4 và số còn lại chia hết cho 2.
- Như vậy tích \(\left(\right. p - 1 \left.\right) \left(\right. p + 1 \left.\right)\) chắc chắn chia hết cho \(4 \times 2 = 8\).
=> \(\left(\right. p - 1 \left.\right) \left(\right. p + 1 \left.\right)\) chia hết cho 8.
Ta có: p là số nguyên tố lớn hơn 3
=>p không chia hết cho 3
TH1: p=3m+1 (m thuộc N)
=>p2=(3m+1)2=3m(3m+1)+(3m+1)=9m2+3m+3m+1=3(3m2+2m)+1
=>p2 chia 3 dư 1
TH2: p=3n+2 (n thuộc N)
=>p2=(3n+2)2=3n(3n+2)+2(3n+2)=9n2+6n+6n+4=3(3n2+4n+1)+1
=>p2 chia 3 dư 1
Vậy p2 luôn chia 3 dư 1 (với p là SNT >3)
=>p2-1 chia hết cho 3(đpcm)
Xét số nguyên tố p khi chia cho 3
Ta có: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( điều kiện k thuộc N* )
- \(p=3k+1\Rightarrow p^2-1=\left(3k+1\right)^2-1=9k^2+6k⋮3\)( 1 )
- \(p=3k+2\Rightarrow p^2-1=\left(3k+2\right)^2-1=9k^2+6k⋮3\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(p^2-1⋮3\left(đpcm\right)\)
p là số ngyên tố lớn hơn 3=>p không chia hết cho 3
=>p2=3k+1
=>p2-1=3k+1-1=3k chia hết cho 3
=>đpcm
Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( kN*)
Nếu p=3k+1 thì p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 3
Nếu p=3k+2 thì p2-1 = ( 3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3
Vậy p2-1 chia hết cho 3.
p là số nguyên tố lớn hơn 3=>p2 chia 3 dư1
=>p2-1 chia hết cho 3
=>đpcm
\(a.pnto>3\\ \Rightarrow pko⋮3\\ \Rightarrow p^2:3duw1\\ \Rightarrow p^2-1⋮3\left(hs\right)\)
b.
Ta thấy x = 0 hoặc y=0
x=0=>
y=0=>
tự tìm
Các số ngyên tố lớn hơm 3 thường có dạng 3k + 1; 3k + 2 ( k \(\in\) N* )
TH1 : p = 3k + 1 => p2 - 1 = (3k + 1)2 - 1 = [(3k + 1) - 1][(3k + 1) + 1] = 3k(3k + 2) chia hết cho 3 (1)
TH2 : p = 3k + 2 => p2 - 1 = (3k + 2)2 - 1 = [(3k + 2) - 1][(3k + 2) + 1] = (3k + 1)(3k + 3) = 3(3k + 1)(k + 1) \(⋮3\) (2)
Từ (1) ; (2) => p2 - 1 chia hết cho 3 (đpcm)
Lưu ý : (3k + 1)2 - 1 = [(3k + 1) - 1][(3k + 1) + 1] là do Áp dụng hđt : a2 - b2 = (a - b)(a + b) nha !!!
bạn xét p>3 p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 thay vào p^2-1 ta cm được
Ta có : (p-1)(p+1) = p2 - 1
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p ko chia hết cho 3. Suy ra : p2 không chia hết cho 3
\(\Rightarrow\)p2 chia 3 dư 1 (Vì p2 là số chính phương)
\(\Rightarrow\)p2 -1 \(⋮\)3
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 2. Suy ra p-1\(⋮\)2 và p+1\(⋮\)2.
\(\Rightarrow\)(p-1)(p+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp
Do đó: (p-1)(p+1) \(⋮\)8
Vì (p-1)(p+1) chia hết cho 3 và 8 nên (p-1)(p+1) \(⋮\)24 (đpcm)