Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Theo bđt AM-GM,ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
Suy ra \(\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm
\(C=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+ab+\frac{16}{ab}+\frac{17}{2ab}\)
\(C\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{ab.\frac{16}{ab}}+\frac{17}{\frac{2\left(a+b\right)^2}{4}}\)
\(C\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+8+\frac{34}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{4^2}+8+\frac{34}{4^2}=\frac{83}{8}\)
Dấu "=" khi \(a=b=2\)
Ta có \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(a^2+b^2\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{3}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{\frac{1}{2}}=12+2=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Ta sẽ chứng minh bầng biến đổi tương đương :
a ) \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Vậy bđt được chứng minh.
b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh.
Bạn cần thêm điều kiện a,b>0 cho cả a) nữa nhé :)
a/ ta có :\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) ( ĐPCM)