Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(1.3.5.7.9...\left(2n-1\right)=\frac{\left[1.3.5.7.9....\left(2n-1\right)\right].\left[2.4.6.8...2n\right]}{2.4.6.8....2n}=\frac{1.2.3.4.5.6....2n}{\left(2.1\right).\left(2.2\right).\left(2.3\right)\left(2.4\right)....\left(2.n\right)}\)
=> \(1.3.5.7.9...\left(2n-1\right)=\frac{1.2.3.4.5.6....2n}{\left(2.2.2.....2\right).\left(1.2.3.4.....n\right)}=\frac{\left(1.2.3.4.....n\right)\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n\right]}{2^n.\left(1.2.3.4....n\right)}\)
=> \(1.3.5.7.9...\left(2n-1\right)=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n}{2^n}\)
=> \(\frac{1.3.5.7.9...\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n}{2^n\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n\right]}=\frac{1}{2^n}\)(đpcm)
a) A = 12 + 22 + ...+ n2 = 1.(2 - 1) + 2.(3 - 1) + ...+ n.(n+ 1 - 1) = [1.2 + 2.3 + ...+ n.(n+1)] - (1 + 2 + ... + n)
Tính B = 1.2 + 2.3 + ...+ n.(n+1)
=> 3.B = 1.2.3 + 2.3.3 +3.4.3 + ...+ n.(n+1).3
= 1.2.3 + 2.3.(4 -1) + 3.4 .(5 - 2) + ...+ n.(n+1).((n+2) - (n-1) )
= [1.2.3.+ 2.3.4 + 3.4.5 +...+ n.(n+1).(n+2)] - [1.2.3 + 2.3.4 +...+ (n-1).n(n+1)] = n(n+1)(n+2)
=> B = n(n+1).(n+2)/3
Tính 1 + 2 + 3 + ..+ n =(n+1).n / 2
Vậy A = n(n+1).(n+2)/3 - (n+1).n / 2 = n(n+1).(2n+1) / 6
Ta có: \(n^3=n.n.n=n.\left(\frac{n+1+n-1}{2}\right).n\left(\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{2}\right)\)
\(=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right).\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}-\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right)=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2-\left(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right)^2\)
(Áp dụng công thức a2 - b2 = (a-b).(a+b))
Áp dụng vào ta có: \(1^3=\left(\frac{1.2}{2}\right)^2-\left(\frac{1.0}{2}\right)^2\)
\(2^3=\left(\frac{2.3}{2}\right)^2-\left(\frac{2.1}{2}\right)^2\)
\(3^3=\left(\frac{3.4}{2}\right)^2-\left(\frac{3.2}{2}\right)^2\)
......................
\(n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2-\left(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right)^2\)
Cộng từng vế ta được:
\(1^3+2^3+....+n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)
a) Nhân cả tử và mẫu với 2 . 4 . 6 ... 40 ta được :
\(\frac{1.3.5...39}{21.22.23...40}=\frac{\left(1.3.5...39\right).\left(2.4.6...40\right)}{\left(21.22.23...40\right).\left(2.4.6...40\right)}\)
\(=\frac{1.2.3...39.40}{1.2.3...40.2^{20}}=\frac{1}{2^{20}}\)
b) Nhân cả tử và mẫu với 2 . 4 . 6 ... 2n ta được :
\(\frac{1.3.5...\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3....2n\right)}=\frac{1.3.5...\left(2n-1\right).\left(2.4.6...2n\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)...\left(2n\right).\left(2.4.6...2n\right)}\)
\(=\frac{1.2.3...\left(2n-1\right).2n}{1.2.3...2n.2^n}=\frac{1}{2^n}\)
# Mik làm ý A trước nhé, mik sợ dài :
- Với n = 1 \(\Rightarrow1=\frac{1.2.3}{6}\)( đúng )
- Giả sử đẳng thức cũng đúng với\(n=k\)hay :
\(1^2+2^2+3^2+...+k^2=\)\(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với\(n=k+1\)hay :
\(1^2+2^2+3^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\)\(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\)
Thật vậy, ta có:
\(1^2+2^2+3^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\)\(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(\frac{k\left(2k+1\right)}{6}+k+1\right)=\)\(\left(k+1\right)\left(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\left(k+1\right)\left(\frac{2k^2+7k+6}{6}\right)=\)\(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)( đpcm )
# giờ mik làm ý B nha !
- Với n = 1 \(\Rightarrow\)1 = 1 ( đúng )
Giả sử bài toán đúng với\(n=k\left(n\inℕ^∗\right)\)thì ta có :
1 + 23 + 33 + .... + k3 = \(\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\left(1\right)\)
Ta cần chứng minh đề bài đúng với\(n=k+1\)tức là :
13 + 23 + 33 + ...... + n3 = \(\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\left(2\right)\)
Đặt \(B=1^3+2^3+...+\left(k+1\right)^3\)
\(=\left(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right)^2+\left(k+1\right)^3\)theo ( 1 )
\(=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)theo ( 2 )
\(\Rightarrow\left(1\right),\left(2\right)\)đều đúng
Mà \(\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\)\(\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\)\(1^3+2^3+...+n^3=\)\(\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)( đpcm )
a) \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)(@@)
+) Với n = 1 ta có: \(1.2=\frac{1.\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{3}\) đúng
=> (@@) đúng với n = 1
+) G/s (@@) đúng cho đến n
+) Ta chứng minh (@@ ) đúng với n + 1
Ta có: \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}\)
=> (@@) đúng với n + 1
Vậy (@@ ) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0
b) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}\) (@)
Ta chứng minh (@) đúng với n là số tự nhiên khác 0 quy nạp theo n
+) Với n = 1 ta có: \(\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1}\) đúng
=> (@) đúng với n = 1
+) G/s (@) đúng cho đến n
+) Ta cần chứng minh (@) đúng với n + 1
Ta có: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^n-1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-2+1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}\)
=> (@) đúng với n + 1
Vậy (@) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0.
mk năm nay học lớp 8 mà mới chỉ học công thức thôi chứ chưa học (hoặc đã học mà quên mất) nhưng chứng minh cái này mk mới chỉ học công thức thôi chứ chứng minh bài toán tổng quánthì chịu