NT
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HN
7 tháng 5 2017
Từ đề bài ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge0\\\left(x-3\right)\left(y-3\right)\left(3-z\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\ge0\\-xyz+3\left(xy+yz+zx\right)-9\left(x+y+z\right)+27\ge0\end{matrix}\right.\)
Lấy trên + dưới ta được
\(4\left(xy+yz+zx\right)-8\left(x+y+z\right)+28\ge0\)
\(\Leftrightarrow4\left(xy+yz+zx\right)+20\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)^2+20\ge2x^2+2y^2+2z^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le11\)
7 tháng 5 2017
Bài này Karamata là vừa :D
Giả sử \(a\ge b\ge c\)
Khi \(f\left(x\right)=x^2\) là hàm lồi trên \(\left[-1,3\right]\) và \((-1,-1,3)\succ(a,b,c)\)
Theo Karamata's inequality ta có:
\(11=\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2+3^2\ge a^2+b^2+c^2\)
TN
1 tháng 2 2017
B1:x^2+2016=xy+yz+xz+x^2=...
tuong tu
y^2+2016=... ; z^2+2016=....
B2:bdt am-gm
BN
8 tháng 8 2017
1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
T
8 tháng 8 2017
2.
a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Lần trước mk giải rồi nhá
3.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)
\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
YY
18 tháng 5 2018
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương :
\(\frac{x^3}{y^2}+x\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y^2}\cdot x}=2\frac{x^2}{y}\)
\(\frac{y^3}{z^2}+y\ge2\frac{y^2}{z}\)
\(\frac{z^3}{x^2}+z\ge2\frac{z^2}{x}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2}\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)-\left(x+y+z\right)\)
Mà \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{y^2}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)
5 tháng 8 2017
b2 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{y}.\)\(\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{1}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{1}{z}}\)rồi dung bunhia là xong
AN
5 tháng 8 2017
A= \(\frac{1}{a^3}\)+ \(\frac{1}{b^3}\)+ \(\frac{1}{c^3}\)+ \(\frac{ab^2}{c^3}\)+ \(\frac{bc^2}{a^3}\)+ \(\frac{ca^2}{b^3}\)
Svacxo:
3 cái đầu >= \(\frac{9}{a^3+b^3+c^3}\)
3 cái sau >= \(\frac{\left(\sqrt{a}b+\sqrt{c}b+\sqrt{a}c\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Cô-si: cái tử bỏ bình phương >= 3\(\sqrt{abc}\)
=> cái tử >= 9abc= 9 vì abc=1
Còn lại tự làm
Có : (x-y)^2 >= 0
<=> x^2+y^2 >= 2xy
Tương tự : y^2+z^2 >= 2yz
z^2+x^2 >= 2zx
=> 2.(x^2+y^2+z^2) >= 2.(xy+yz+zx)
<=> 3.(x^2+y^2+z^2) >= x^2+y^2+z^2 + 2.(xy+yz+zx) = (x+y+z)^2
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
Tk mk nha
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+3z^2-\left(x+y+z\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+3z^2-x^2-y^2-z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)(đúng)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z