Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2-xy+y^2=x^2-2.x.\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3y^2}{4}\)\(=\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3y^2}{4}\ge0\) với mọi x,y.
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y\)
b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
Đúng với AM-GM 4 số
Xảy ra khi \(x=y=z=t\)
Lời giải:
Đặt $\sqrt{2x}=a; \sqrt{2y}=b$ thì $0\leq a,b\leq 1$
Bài toán trở thành:
CMR:
$\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{a^2+2}\leq \frac{2}{3}$
$\Leftrightarrow 3(a^3+b^3)+6(a+b)\leq 2a^2b^2+4(a^2+b^2)+8(I)$
--------------------------
Thật vậy:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\leq 2(a^2-ab+b^2)$
$\Rightarrow 3(a^3+b^3)\leq 6(a^2-ab+b^2)(1)$
$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\leq ab+1$
$\Rightarrow 6(a+b)\leq 6(ab+1)(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow 3(a^3+b^3)+6(a+b)\leq 6(a^2+b^2+1)(*)$
Mà:
$6(a^2+b^2+1)-[2a^2b^2+4(a^2+b^2)+8]$
$=2(a^2+b^2-a^2b^2-1)=2(a^2-1)(1-b^2)\leq 0$
$\Rightarrow 6(a^2+b^2+1)\leq 2a^2b^2+4(a^2+b^2)+8(**)$
Từ $(*);(**)$ suy ra $(I)$ đúng. Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
`@ x+y+z=1`.
`<=>` \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-y-z\\y=1-z-x\\z=1-x-y\end{matrix}\right.\)
`P=(x+y)^2/(xy+1-x-y).(y+z)^2/(yz-y-z+1).(x+z)^2/(xy-x-y+1)`.
`<=> ((1-z)^2(1-y)^2(1-x)^2)/((1-x)(1-y)(1-y)(1-z)(1-z)(1-x).`
`=1.`
Vậy `P` không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Đề phải cho \(x,y\) dương nữa!
Giải:
Ta có: \(xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\dfrac{1}{64}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Vậy ta cần chứng minh BĐT tương đương \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\)
\(\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}\) \(=\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4}\)
=>x+y>=2 căn xy
=>(căn x-căn y)^2>=0(luôn đúng)