Câu hỏi của BiBo MoMo

Question

chứng minh với mọi x,y khác 0 luôn có x^4+y^4< hoặc = x^6/y^2+y^6/x^2

Kiệt Nguyễn · Accepted Answer

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:$\frac{x^6}{y^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{x^8y^2}{y^2}}=2x^4$$\frac{y^6}{x^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{y^8x^2}{x^2}}=2y^4$Cộng từng các BĐT trên:$\frac{x^6}{y^2}+2x^2y^2+\frac{y^6}{x^2}\ge2x^4+2y^4$$\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+x^4+y^4+y^4-2x^2y^2$$\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4+\left(x^2-y^2\right)^2\ge x^4+y^4$Vậy $\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4$(Dấu "="$\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\x=-y\end{cases}}$)Câu trả lời: Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:$\frac{x^6}{y^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{x^8y^2}{y^2}}=2x^4$$\frac{y^6}{x^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{y^8x^2}{x^2}}=2y^4$Cộng từng các BĐT trên:$\frac{x^6}{y^2}+2x^2y^2+\frac{y^6}{x^2}\ge2x^4+2y^4$$\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+x^4+y^4+y^4-2x^2y^2$$\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4+\left(x^2-y^2\right)^2\ge x^4+y^4$Vậy $\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4$(Dấu "="$\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\x=-y\end{cases}}$)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP