Câu hỏi của Quynh Ngoc

Question

Bài 8. Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm 4 sao cho OA = 2R Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp . Đường thẳng OA cắt BC tại H, cất cung nhỏ và cung lớn BC lần lượt tạ...

Nguyễn Ngọc Anh Minh · Accepted Answer

O A B C H I K D M N E

a/

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO có

OB=OC=R; OA chung => tg ABO = tg ACO (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

Xét tg ABC có

AB=AC (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm...) => tg ABC cân tại A

tg ABO = tg ACO (cmt) $\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OAC}$

$\Rightarrow OA\perp BC$ (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

Xét tg vuông ABO có

$OB^2=R^2=OH.OA$ (Hệ thức lượng trong tg vuông)

OA=2R (gt); OI=R => AI=R => AI=OI=R => BI=OA/2=R

c/m tương tự khi xét tg vuông ACO ta cũng có CI=R

Xét tứ giác BOCI có

BI=CI=OB=OC=R => BOCI là hình thoi => OH=HI (trong hình thoi 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

$\Rightarrow OH.OA=HI.OA=OB^2=R^2$

b/

Xét tg vuông AOB có

$\sin OAB=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{OAB}=30^o$

Ta có $\widehat{OAC}=\widehat{OAB}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{OAC}=\widehat{OAB}=30^o$

$\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{OAB}+\widehat{OAC}=30^o+30^o=60^o$

Xét tg cân ABC có

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\alpha$

$\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o-\widehat{BAC}=180^o-60^o=120^o$

$\Rightarrow2\alpha=120^o\Rightarrow\alpha=60^o$

=> ABC là tg đều

Ta có

OH=HI (cmt)

AI=R(cmt); OK=R

$\Rightarrow AI+HI=OK+OH\Rightarrow AH=KH$

Xét tg cân ABC có

$OA\perp BC\left(cmt\right)$

=> BH=CH (Trong tg cân đường cao xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)

=> ABKC là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Mà $OA\perp BC\Rightarrow AK\perp BC$

=> ABKC là hình thoi (hbh có 2 đường chéo vuông góc)

c/

Ta có AI=BI=CI=R (cmt) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC

d/

Xét (O) có

$\widehat{CBD}=90^o$ (Góc nt chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BD\perp BC$

$OA\perp BC\left(cmt\right)$

=> BD//AO (cùng vuông góc với BC)

e/

Xét tg OMN có

OM=ON=R

ME=NE (gt)

$\Rightarrow OE\perp MN$ (Trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

=> B; C; E cùng nhìn AO dưới các góc = nhau và $=90^o$

=> B; C; E nằm trên dường tròn đường kính AO => O; E; A; B; C cùng thuộc một đường tròn

Câu trả lời:

O A B C H I K D M N E

a/

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO có

OB=OC=R; OA chung => tg ABO = tg ACO (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

Xét tg ABC có

AB=AC (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm...) => tg ABC cân tại A

tg ABO = tg ACO (cmt) $\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OAC}$

$\Rightarrow OA\perp BC$ (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

Xét tg vuông ABO có

$OB^2=R^2=OH.OA$ (Hệ thức lượng trong tg vuông)

OA=2R (gt); OI=R => AI=R => AI=OI=R => BI=OA/2=R

c/m tương tự khi xét tg vuông ACO ta cũng có CI=R

Xét tứ giác BOCI có

BI=CI=OB=OC=R => BOCI là hình thoi => OH=HI (trong hình thoi 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

$\Rightarrow OH.OA=HI.OA=OB^2=R^2$

b/

Xét tg vuông AOB có

$\sin OAB=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{OAB}=30^o$

Ta có $\widehat{OAC}=\widehat{OAB}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{OAC}=\widehat{OAB}=30^o$

$\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{OAB}+\widehat{OAC}=30^o+30^o=60^o$

Xét tg cân ABC có

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\alpha$

$\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o-\widehat{BAC}=180^o-60^o=120^o$

$\Rightarrow2\alpha=120^o\Rightarrow\alpha=60^o$

=> ABC là tg đều

Ta có

OH=HI (cmt)

AI=R(cmt); OK=R

$\Rightarrow AI+HI=OK+OH\Rightarrow AH=KH$

Xét tg cân ABC có

$OA\perp BC\left(cmt\right)$

=> BH=CH (Trong tg cân đường cao xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)

=> ABKC là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Mà $OA\perp BC\Rightarrow AK\perp BC$

=> ABKC là hình thoi (hbh có 2 đường chéo vuông góc)

c/

Ta có AI=BI=CI=R (cmt) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC

d/

Xét (O) có

$\widehat{CBD}=90^o$ (Góc nt chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BD\perp BC$

$OA\perp BC\left(cmt\right)$

=> BD//AO (cùng vuông góc với BC)

e/

Xét tg OMN có

OM=ON=R

ME=NE (gt)

$\Rightarrow OE\perp MN$ (Trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

=> B; C; E cùng nhìn AO dưới các góc = nhau và $=90^o$

=> B; C; E nằm trên dường tròn đường kính AO => O; E; A; B; C cùng thuộc một đường tròn

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA$\perp$BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có $cosBOA=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}$

nên $\widehat{BOA}=60^0$

Xét ΔOBI có OB=OI và $\widehat{BOI}=60^0$

nên ΔOBI đều

ΔOBI đều

mà BH là đường cao

nên H là trung điểm của OI

=>OH=HI

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên $OH\cdot OA=OB^2$

=>$HI\cdot OA=R^2$

b: Xét ΔAOB vuông tại B có $sinBAO=\dfrac{BO}{OA}=\dfrac{1}{2}$

nên $\widehat{BAO}=30^0$

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AO là phân giác của góc BAC

=>$\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAO}=2\cdot30^0=60^0$

Xét ΔABC có AB=AC và $\widehat{BAC}=60^0$

nên ΔBAC đều

Ta có: HO+OK=HK

HI+IA=HA

mà HO=HI và OK=IA(=R)

nên HK=HA

=>H là trung điểm của KA

Xét tứ giác ABKC có

H là trung điểm chung của AK và BC

=>ABKC là hình bình hành

Hình bình hành ABKC có AB=AC

nên ABKC là hình thoi

c: Ta có: $\widehat{ABI}+\widehat{OBI}=\widehat{ABO}=90^0$

$\widehat{HBI}+\widehat{OIB}=90^0$(ΔBHI vuông tại H)

mà $\widehat{OBI}=\widehat{OIB}\left(=60^0\right)$

nên $\widehat{ABI}=\widehat{HBI}$

=>BI là phân giác của góc ABH

d: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại B

=>BC$\perp$BD

mà BC$\perp$OA

nên BD//OA

e: ΔOMN cân tại O

mà OE là đường trung tuyến

nên OE$\perp$MN tại E

Ta có: $\widehat{OEA}=\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0$

=>O,E,A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

Câu trả lời:

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA$\perp$BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có $cosBOA=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}$

nên $\widehat{BOA}=60^0$

Xét ΔOBI có OB=OI và $\widehat{BOI}=60^0$

nên ΔOBI đều

ΔOBI đều

mà BH là đường cao

nên H là trung điểm của OI

=>OH=HI

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên $OH\cdot OA=OB^2$

=>$HI\cdot OA=R^2$

b: Xét ΔAOB vuông tại B có $sinBAO=\dfrac{BO}{OA}=\dfrac{1}{2}$

nên $\widehat{BAO}=30^0$

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AO là phân giác của góc BAC

=>$\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAO}=2\cdot30^0=60^0$

Xét ΔABC có AB=AC và $\widehat{BAC}=60^0$

nên ΔBAC đều

Ta có: HO+OK=HK

HI+IA=HA

mà HO=HI và OK=IA(=R)

nên HK=HA

=>H là trung điểm của KA

Xét tứ giác ABKC có

H là trung điểm chung của AK và BC

=>ABKC là hình bình hành

Hình bình hành ABKC có AB=AC

nên ABKC là hình thoi

c: Ta có: $\widehat{ABI}+\widehat{OBI}=\widehat{ABO}=90^0$

$\widehat{HBI}+\widehat{OIB}=90^0$(ΔBHI vuông tại H)

mà $\widehat{OBI}=\widehat{OIB}\left(=60^0\right)$

nên $\widehat{ABI}=\widehat{HBI}$

=>BI là phân giác của góc ABH

d: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại B

=>BC$\perp$BD

mà BC$\perp$OA

nên BD//OA

e: ΔOMN cân tại O

mà OE là đường trung tuyến

nên OE$\perp$MN tại E

Ta có: $\widehat{OEA}=\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0$

=>O,E,A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP