K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
Trần Thị Khiêm
VIP
16 tháng 8
Đề:
Cho tam giác nhọn \(A B C\), các đường cao \(A D , B E , C F\) đồng quy tại trực tâm \(H\).
Lấy \(X \in A D , Y \in B E , Z \in C F\) sao cho
\(\frac{D X}{D A} + \frac{E Y}{E B} + \frac{F Z}{F C} = 1.\)
Chứng minh \(H , X , Y , Z\) cùng thuộc một đường tròn.
Ý tưởng giải
Điều kiện “tổng tỉ lệ = 1” gợi đến Định lý Ceva dạng lượng giác hay dạng tỷ số đoạn thẳng. Nhưng ở đây lại liên quan đến tính chất hàng điểm điều hòa và lực của điểm (power of a point).
Một hướng quen thuộc: chứng minh rằng
\(\frac{D X}{D A} = \frac{H D}{H A} , \frac{E Y}{E B} = \frac{H E}{H B} , \frac{F Z}{F C} = \frac{H F}{H C} .\)
Nếu thay vào, điều kiện đề bài trở thành
\(\frac{H D}{H A} + \frac{H E}{H B} + \frac{H F}{H C} = 1.\)
Mà đẳng thức này đúng với trực tâm \(H\) trong tam giác nhọn (một đẳng thức quen thuộc trong hình học tam giác). Đây là chìa khoá.
Các bước chứng minh
- Biểu diễn điều kiện bằng lực của điểm H:
Trên đoạn \(A D\), nếu \(X\) thỏa
\(\frac{D X}{D A} = \frac{H D}{H A} ,\)
thì theo định nghĩa, ta có
\(H X \cdot H A = H D \cdot D A .\)
Nghĩa là \(H\) và \(A , D , X\) đồng viên.
Tương tự trên \(B E , C F\). - Từ đó ta suy ra \(H\) nằm trên các đường tròn \(\left(\right. A , D , X \left.\right) , \left(\right. B , E , Y \left.\right) , \left(\right. C , F , Z \left.\right)\).
- Giao của ba đường tròn này chính là điểm \(H\).
Mặt khác, nhờ điều kiện tổng bằng 1, ba đường tròn này cùng đi qua một điểm thứ hai (không phải \(H\)). Chính là điểm chung của ba đường tròn – đó là đường tròn đi qua \(H , X , Y , Z\). - Do đó, bốn điểm \(H , X , Y , Z\) đồng viên.
✅ Kết luận:
\(H , X , Y , Z \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{thu}ộ\text{c}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}.\)
21 tháng 8
Bài 4:
a: Chiều cao của tòa nhà là:
\(25\cdot\tan36\) ≃18,2(m)
b: Khoảng cách từ chỗ anh ta đứng đến tòa nhà khi đó là:
18,2:tan32≃29,1(m)
Bài 3:
Kẻ BH⊥AC tại H
Xét ΔAHB vuông tại H có \(\sin A=\frac{BH}{AB}\)
=>\(BH=AB\cdot\sin A\)
Xét ΔABC có BH là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot BH\cdot AC=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)
Bài 2:
a: \(A=\frac{\sin45^0\cdot cos45^0}{\cot60^0}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\tan30}=\frac12:\frac{\sqrt3}{3}=\frac12\cdot\frac{3}{\sqrt3}=\frac{3}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}\)
b: \(B=\frac{\sin70^0\cdot\tan40^0}{cos20^0\cdot\cot50^0}=\frac{\sin70^0\cdot\tan40^0}{\sin70^0\cdot\tan40^0}=1\)
Bài 1:
ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AB^2=BC^2-AC^2=10^2-8^2=36=6^2\)
=>AB=6(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac45\)
\(cosB=\frac{BA}{BC}=\frac{6}{10}=\frac35\)
\(\tan B=\frac{AC}{BA}=\frac86=\frac43\)
\(\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac68=\frac34\)
18 tháng 8
Xét ΔAHC vuông tại H có \(\sin C=\frac{AH}{AC}\)
=>\(\frac{AH}{10}=\sin30=\frac12\)
=>\(AH=\frac{10}{2}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔAHC vuông tại H
=>\(HA^2+HC^2=CA^2\)
=>\(HC^2=10^2-5^2=100-25=75=\left(5\sqrt3\right)^2\)
=>\(HC=5\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(HB\cdot HC=HA^2\)
=>\(HB=\frac{5^2}{5\sqrt3}=\frac{5}{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{3}\) (cm)
ΔAHB vuông tại H
=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)
=>\(AB^2=5^2+\left(\frac{5\sqrt3}{3}\right)^2=25+\frac{25}{3}=\frac{100}{3}\)
=>\(AB=\sqrt{\frac{100}{3}}=\frac{10}{\sqrt3}\) (cm)
18 tháng 8
15:
a: Gọi giá niêm yết của mỗi cái quạt là x(đồng), giá niêm yết của mỗi cái bàn ủi hơi nước là y(đồng)
(ĐIều kiện: x>0; y>0)
Giá của mỗi cái quạt sau khi giảm giá là: \(x\left(1-10\%\right)=0,9x\) (đồng)
Giá của mỗi cái bàn ủi sau khi giảm giá là: \(y\left(1-25\%\right)=0,75\) y(đồng)
Số tiền phải trả nếu mua theo giá niêm yết là 2175000 nên x+y=2175000(1)
Số tiền phải trả nếu mua theo giá đã giảm là 1717500 nên 0,9x+0,75y=1717500(2)
Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}x+y=2175000\\ 0,9x+0,75y=1717500\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}0,9x+0,9y=1957500\\ 0,9x+0,75y=1717500\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}0,9x+0,9y-0,9x-0,75y=1957500-1717500=240000\\ x+y=2175000\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}0,15y=240000\\ x+y=2175000\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=1600000\\ x=2175000-1600000=575000\end{cases}\) (nhận)
vậy: giá niêm yết của mỗi cái quạt là 575000(đồng), giá niêm yết của mỗi cái bàn ủi hơi nước là 1600000(đồng)
b: Giá của mỗi cái quạt sau khi giảm giá là:
\(575000\cdot0,9=517500\) (đồng)
Giá vốn của mỗi cái quạt là:
\(517500\cdot\frac{100}{115}=450000\) (đồng)
giá của mỗi cái bàn ủi hơi nước sau khi giảm giá là:
\(1600000\cdot75\%=1200000\left(đồng\right)\)
Giá vốn của mỗi cái bàn ủi là:
\(1200000\cdot\frac{100}{120}=1000000\) (đồng)
Bài 12: Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{ab}\)
Tổng của hai chữ số là 12 nên a+b=12
Nếu viết theo thứ tự ngược lại thì số mới lớn hơn số cũ là 18 đơn vị nên ta có:
\(\overline{ba}-\overline{ab}=18\)
=>10b+a-10a-b=18
=>-9a+9b=18
=>a-b=-2
mà a+b=12
nên \(a=\frac{-2+12}{2}=\frac{10}{2}=5;b=12-5=7\)
vậy: Số cần tìm là 57
18 tháng 8
a: Diện tích ban đầu là \(8\cdot20=160\left(m^2\right)\)
Độ dài cạnh góc vuông thứ nhất của phần bị thu hồi là
20-2x(m)
Độ dài cạnh góc vuông thứ hai của phần bị thu hồi là:
8-x(m)
Diện tích phần bị thu hồi là:
\(T=\frac12\left(20-2x\right)\left(8-x\right)=\frac12\left(2x-20\right)\left(x-8\right)=\left(x-10\right)\left(x-8\right)\left(m^2\right)\)
b: Diện tích đất bị thu hồi là 455:13=35(m)
=>(x-10)(x-8)=35
=>\(x^2-18x+80-35=0\)
=>\(x^2-18x+45=0\)
=>(x-3)(x-15)=0
=>\(\left[\begin{array}{l}x-3=0\\ x-15=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=3\left(nhận\right)\\ x=15\left(loại\right)\end{array}\right.\)
Vậy: x=3
13 tháng 8
Câu 5:
AB=1,6+25=26,6(m)
Ta có: \(\hat{xAC}=\hat{ACB}\) (hai góc so le trong, Ax//BC)
mà \(\hat{xAC}=38^0\)
nên \(\hat{ACB}=38^0\)
Xét ΔABC vuông tại B có tan ACB\(=\frac{AB}{BC}\)
=>\(BC=\frac{AB}{\tan ACB}=\frac{26.6}{\tan38}\) ≃34,0(m)
=>Chiếc xe cách chân tòa nhà khoảng 34m
13 tháng 8
Câu 7:
Xét tứ giác AHBD có \(\hat{AHB}=\hat{ADB}=\hat{DBH}=90^0\)
nênAHBD là hình chữ nhật
=>HB=AD=68(m)
Xét ΔAHD vuông tại H có \(\tan HAB=\frac{HB}{AH}\)
=>\(AH=\frac{HB}{\tan HAB}=\frac{68}{\tan28}\) ≃127,89(m)
Xét ΔAHC vuông tại H có \(\tan HAC=\frac{HC}{HA}\)
=>\(HC=HA\cdot\tan HAC=127,89\cdot\tan43\) ≃119,26(m)
BC=BH+CH=68+119,26≃187,3(m)
15 tháng 8
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)
=>BC=10(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có \(\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac35\)
nên \(\hat{C}\) ≃37 độ
ΔABC vuông tại A
=>\(\hat{B}+\hat{C}=90^0\)
=>\(\hat{B}=90^0-37^0=53^0\)
b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(1\right)\)
Xét ΔABD vuông tại A có AK là đường cao
nên \(BK\cdot BD=BA^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(BH\cdot BC=BK\cdot BD\)
c: \(BH\cdot BC=BD\cdot BK\)
=>\(\frac{BH}{BK}=\frac{BD}{BC}\)
=>\(\frac{BH}{BD}=\frac{BK}{BC}\)
Xét ΔBHK và ΔBDC có
\(\frac{BH}{BD}=\frac{BK}{BC}\)
góc HBK chung
Do đó: ΔBHK~ΔBDC
=>\(\hat{BKH}=\hat{BCD}=\hat{ACB}\)
22 tháng 8
a: ta có: AH⊥CD
OM⊥CD
BK⊥CD
Do đó: AH//OM//BK
Xét ΔAKB có
O là trung điểm của AB
ON//KB
DO đó: N là trung điểm của AK
=>AN=NK
b: Xét hình thang ABKH có
O là trung điểm của AB
OM//AH//BK
Do đó: M là trung điểm của HK
=>MH=MK
c: ΔOCD cân tại O
mà OM là đường cao
nên M là trung điểm của CD
Ta có: MC+CH=MH
MD+DK=MK
mà MC=MD và MH=MK
nên CH=DK
a: Xét tứ giác OBAC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
DO đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)