Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Dễ dàng nhận thấy \(x=-1\) không phải là 1 nghiệm của đa thức P(x).
- Gọi b là 1 nghiệm của đa thức \(P\left(x\right)=x^3+3x^2-1\)
Do đó: \(b^3+3b^2-1=0\)
\(\Rightarrow\left(b^3+3b^2+3b+1\right)-3\left(b+1\right)+1=0\)
\(\Rightarrow\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1}{\left(b+1\right)^3}=0\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^3-3.\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^2+1=0\)
\(\Rightarrow\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0\)
Thay \(x=-\dfrac{1}{b+1}\) vào \(P\left(x\right)=x^3+3x^2-1\) ta được:
\(P\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)=\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{b+1}\) là một nghiệm của đa thức P(x).
Đặt \(a=-\dfrac{1}{b+1}\Rightarrow ab+a+1=0\) \(\Rightarrowđpcm\)
Ta có:
\(P\left(x\right)=2x\left(x^3-3x+1\right)-\left(x^3-3x+1\right)+x^2-4\)
Do đó: \(P\left(a\right).P\left(b\right).P\left(c\right)=\left(a^2-4\right)\left(b^2-4\right)\left(c^2-4\right)\)
Ta có:
\(\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=x^3-3x+1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=0\\ab+ac+bc=-3\\abc=-1\end{matrix}\right.\)
C1: \(\left(a^2-4\right)\left(b^2-4\right)\left(c^2-4\right)=\left(abc\right)^2-4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+16\left(a^2+b^2+c^2\right)-4^3\)
\(=1-4.9+16.6-4^3=-3\)\(\Rightarrow P\left(a\right).P\left(b\right).P\left(c\right)=-3\)
C2: Biến đổi thêm một chút
Ta có: \(a,b,c\ne0\) nên
\(a^3-3a+1=0\Leftrightarrow a\left(a^2-3\right)+1=0\)\(\Rightarrow a^2-3=\dfrac{-1}{a}\)
Tương tự...
\(\Rightarrow P\left(a\right).P\left(b\right).P\left(c\right)=\left(-\dfrac{1}{a}-1\right)\left(-\dfrac{1}{b}-1\right)\left(-\dfrac{1}{c}-1\right)\)
\(=-\left(\dfrac{1}{a}+1\right)\left(\dfrac{1}{b}+1\right)\left(\dfrac{1}{c}+1\right)\)\(=-\dfrac{a+1}{a}.\dfrac{b+1}{b}.\dfrac{c+1}{c}=abc+ac+bc+ab+a+b+c+1=-1-3+1=-3\)
Đa thức \(P\left(x\right)=x^3-3x+1\)có ba nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3\) có:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3\\x_1x_2x_3=-1\end{cases}}\)
\(E=Q\left(x_1\right)Q\left(x_2\right)Q\left(x_3\right)=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-1\right)\left(x_3^2-1\right)\)
\(=\left(x_1x_2x_3\right)^2-\left(x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_3^2x_1^2\right)+\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)-1\)
\(=\left(x_1x_2x_3\right)^2-\left[\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)^2-2x_1x_2x_3\left(x_1+x_2+x_3\right)\right]+\left[\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)\right]-1\)
\(=\left(-1\right)^2-3^2+2.3-1=-3\)