Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(2018=a\) thì ta có :
\(\sqrt{2018^2+2018^2.2019^2+2019^2}=\sqrt{a^2+a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2}\)
\(=\sqrt{a^4+2a^3+3a^2+2a+1}=\sqrt{\left(a^2+a+1\right)^2}=a^2+a+1\) là 1 số nguyên (ĐPCM)
\(\frac{2019}{\sqrt{2018}}+\frac{2018}{\sqrt{2019}}\ge\frac{\left(\sqrt{2019}+\sqrt{2018}\right)^2}{\sqrt{2018}+\sqrt{2019}}=\sqrt{2018}+\sqrt{2019}\)
Dấu "=" ko xảy ra nên \(\frac{2019}{\sqrt{2018}}+\frac{2018}{\sqrt{2019}}>\sqrt{2018}+\sqrt{2019}\)
Căn bậc 2 của 1 là 1,của 2018 bình phương là 2018,2018 bình phương/2019 bình phương là 2018/2019 nên cái căn đó có giá trị là 1+2018+2018/2019 nha.bn lấy 2018/2019+2018/2019 nếu là số tự nhiên thì biểu thức này là STN
\(\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)
\(=\)\(\sqrt{\left(1+2.2018+2018^2\right)-2.2018+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)
\(=\)\(\sqrt{2019^2-2.2018+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)
\(=\)\(\sqrt{\left(2019-\frac{2018}{2019}\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)
\(=\)\(\left|2019-\frac{2018}{2019}\right|+\frac{2018}{2019}=2019-\frac{2018}{2019}+\frac{2018}{2019}=2019\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\) là số tự nhiên ( đpcm )
...
Bài 1:
Đặt 2018=a
\(B=\sqrt{1+a^2+\dfrac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}\)
\(=1+a-\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{a}{a+1}=1+a=2019\)
Câu b đề sai nha, bây giờ đặt \(a=\sqrt{2017},b=\sqrt{2018}\)
Ta có \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}< a+b\Leftrightarrow ab\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\right)< ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3< ab\left(a+b\right)\)(1)
Mà \(ab\left(a+b\right)\le\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b\right)=a^3+b^3\)(2)
Từ (1), (2) => Sai
a) Ta có:
\(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{k+1-k}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}\)\(< \frac{2\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k+1}\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}}-\frac{2}{\sqrt{k+1}}\)
Cho k=1,2,....,n rồi cộng từng vế ta có:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< \left(\frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)\(+\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{4}}\right)+....+\left(\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{n-1}}< 2\)
\(\sqrt{2018^2+2018^2.2019^2+2019^2}=\sqrt{2018^2+\left(2019-1\right)^2.2019^2+2019^2}=\sqrt{2018^2+2019^4-2.2019.2019^2+2019^2+2019^2}=\sqrt{2019^4+2.2019^2-2.\left(2018+1\right).2019^2+2018^2}=\sqrt{2019^4+2.2019^2-2.2019.2019^2-2.2019^2+2018^2}=\sqrt{2019^4-2.2018.2019^2+2018^2}=\sqrt{\left(2019^2-2018\right)^2}=\left|2019^2-2018\right|=2019^2-2018\)Vì \(2019^2-2018\) là một số nguyên
Vậy \(\sqrt{2018^2+2018^2.2019^2+2019^2}\) là một số nguyên
TQ: \(^{\sqrt{a^2+a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2}}=\left(a+1\right)^2-a.\)
Thật vậy ta có: \(a^2+a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2=a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)
\(\left(\left(a+1\right)^2-a\right)^2=\left(a^2+a+1\right)^2=a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)