Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{300}\)( có 200 số )
Ta có
\(\frac{1}{101}>\frac{1}{300}\); \(\frac{1}{102}>\frac{1}{300}\); ...;\(\frac{1}{299}>\frac{1}{300}\)
=> \(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{300}\)> \(\frac{1}{300}+\frac{1}{300}+...+\frac{1}{300}+\frac{1}{300}\)
=> \(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{300}\)> \(\frac{1}{300}.200\)
=> \(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{300}\)> \(\frac{2}{3}\)( dpcm )
Ta có\(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{300}>200.\frac{1}{300}=\frac{200}{300}=\frac{2}{3}\Rightarrowđpcm\)
a) Ta có:
\(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=\frac{n-\left(n-1\right)}{n\left(n-1\right)}=\frac{1}{n\left(n-1\right)}>\frac{1}{n.n}=\frac{1}{n^2}\left(1\right)\)
\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}< \frac{1}{n.n}=\frac{1}{n^2}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra:
\(\frac{1}{n\left(n-1\right)}>\frac{1}{n^2}>\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
Hay \(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}>\frac{1}{n^2}>\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\) (Đpcm)
Đặt \(S=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{199\cdot200}\)
\(S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)
\(S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{199}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)\)
\(S=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)\)
\(S=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)
\(S=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}\)
Ta có đpcm
b
\(A=\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+..+\frac{1}{70}\)
Ta thấy:
\(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{20}>\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{20}\)( có 10 phân số \(\frac{1}{20}\)) = \(\frac{1}{20}\).10 = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+...+\frac{1}{30}>\frac{1}{30}+\frac{1}{30}+...+\frac{1}{30}\)(có 10 phân số \(\frac{1}{30}\)) = \(\frac{1}{30}\).10 = \(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40}>\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\)( có 10 phân số \(\frac{1}{40}\)) = \(\frac{1}{40}\).10 = \(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50}>\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\)( có 10 phân số \(\frac{1}{50}\)) =\(\frac{1}{50}.10=\frac{1}{5}\)
\(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60}>\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}\)( có 10 phân số \(\frac{1}{60}\)) =\(\frac{1}{60}.10=\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+...+\frac{1}{70}>\frac{1}{70}+\frac{1}{70}+...+\frac{1}{70}\)( có 10 phân số \(\frac{1}{70}\)) \(=\frac{1}{70}.10=\frac{1}{7}\)
=> A> \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}=\frac{223}{140}=\frac{699}{420}>\frac{560}{420}=\frac{4}{3}\)
=> A > \(\frac{4}{3}\)
Ta có thể thấy: \(\frac{1}{2000}\) là số hạng nhỏ nhất của dãy.
Xét các mẫu, ta tính được số các số hạng của dãy là:
\(\frac{2000-100}{1}+1=1901\)(số)
\(\Rightarrow\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+...+\frac{1}{2000}>\frac{1}{2000}+\frac{1}{2000}+...+\frac{1}{2000}\)
( 1901 số \(\frac{1}{2000}\))
\(\Rightarrow\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+...+\frac{1}{2000}>\frac{1901}{2000}>\frac{1000}{2000}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+...+\frac{1}{2000}>\frac{1}{2}\)