Question

[Trương Thái Hậu]

Chứng minh rằng

\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

với\(\forall a,b,c\ge0\)

Answer 1

[Hoàng Nguyễn Văn]

Áp dụng hệ quả BĐT Cauchy cho 2 số thực dương ta có

(ab)^2 +(bc)^2 >=2 ab.bc

(bc)^2+(ca)^2 >= 2bc.ca

(ca)^2+(ab)^2 >= 2ca.ab

=> 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)>=2abc(a+b+c)

<=>  a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 >= abc(a+b+c)

Dấu = xảy ra <=> ab=bc=ca <=>a=b=c

Answer 2

[Phạm Tuấn Đạt]

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho lần lượt 3 số không âm là a,b,c ta có :

\(a^2b^2+b^2c^2\ge2b^2ac\)

\(b^2c^2+c^2a^2\ge2c^2ab\)

\(a^2b^2+c^2a^2\ge2a^2bc\)

Cộng lần lượt 3 vế của các bđt trên ta có :

\(2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge2abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

ĐPCM

Dấu "=" khi a=b=c