Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
_Solution
We have:
\(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)+9\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-6\right).\left(x-3\right)\left(x-4\right)+9\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-7x+6\right).\left(x^2-7x+12\right)+9\ge0\)\(\left(1\right)\)
Replace: \(x^2-7x+6=t\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow t.\left(t+6\right)+9\ge0\)
\(\Leftrightarrow t^2+6t+9\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+3\right)^2\ge0\)
=> We finish proving this Inequality.
Vì \(a\ge0\),\(b\ge0\),\(c\ge0\),áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương a,b,c ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân từng vế bđt trên =>đpcm
\(\text{có:}\frac{k}{n}+\frac{n}{k}\ge2\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2\sqrt{\frac{k}{n}}.\sqrt{\frac{n}{k}}+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{k}{n}}-\sqrt{\frac{n}{k}}\right)^2\ge0\forall k,n>0\)
\(\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right).\left(a+c\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow2+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\ge8\)
\(\Leftrightarrow2+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge8\)(luôn đúng với mọi a,b,c >=0)
vì a,b,c>=0 =>a=1;b=0;c=0 hoặc a=0;b=1;c=0 hoặc a=0;b=0;c=1
=>a+2b+c>0 mà 1-1=0 => 4(1-a)(1-b)(1-c)=0
=>a+2b+c>=4(1-a)(1-b)(1-c)
\(\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
Ta có
x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14
=[x^2+2x(1-2y)+(1-2y)^2]+y^2-6y+13
=(x+1-2y)^2+(y^2-2y.3+9)+4
=(x+1-2y)^2+(y-3)^2+4.
mà
(x+1-2y)^2 > hoặc=0 với mọi x,y thuộc R
và (y-3)^2 > hoặc=0 với mọi y thuộc R
=> (x+1-2y)^2+(y-3)^2+4 > hoặc =4 với mọi x,y thuộc R
=> (x+1-2y)^2+(y-3)^2+4 >0 với mọi x,y thuộc R.
Xét hiệu :
\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)-\left(-1\right)=\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)+1.\)
Đặt \(x^2-5x+=y.\) Biểu thức trên bằng \(\left(y-1\right)\left(y+1\right)+1=y^2\ge0\)
Vậy \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\ge-1\)
\(x\left(x+1\right)\)
\(=x^2+x\)
\(=x^2+2\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge\frac{-1}{4}\)
Đề sai nha bạn
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) => đpcm
??? đề sai gì